Действие по перестановке мест

В математике существуют две естественные интерпретации перестановки мест действия симметричных групп , в которых элементы группы действуют на позиции или места . Каждое из них можно рассматривать как левое или правое действие, в зависимости от порядка, в котором вы выбираете составление перестановок . Есть всего две интерпретации значения «действия перестановкой». $\sigma$", но это приводит к четырем вариантам, в зависимости от того, написаны ли карты слева или справа от их аргументов. Наличие такого большого количества вариантов часто приводит к путанице. Когда рассматривается групповая алгебра симметричной группы как диаграммная алгебра естественно писать карты справа, чтобы вычислять композиции диаграмм слева направо.

Карты написаны слева

Сначала мы предполагаем, что карты написаны слева от их аргументов, так что композиции происходят справа налево. Позволять ${\mathfrak {S}}_{n}$ быть симметричной группой на $n$ буквы, композиции вычисляются справа налево.

Представьте себе ситуацию, в которой элементы ${\mathfrak {S}}_{n}$ действовать на «местах» (т. е. позициях) чего-либо. Местами могут быть вершины правильного многоугольника $n$ стороны, позиции тензора простого тензора или даже входные данные многочлена $n$ переменные. Итак, у нас есть $n$ места, пронумерованные в порядке от 1 до $n$, занятый $n$ объекты, которые мы можем пронумеровать $x_{1},\dots ,x_{n}$. Короче говоря, мы можем рассматривать наши предметы как слова. $x=x_{1}\cdots x_{n}$ длины $n$ в котором положение каждого элемента имеет значение. Что же значит действовать «перестановкой мест» на $x$? Есть два возможных ответа:

1. элемент $\sigma \in {\mathfrak {S}}_{n}$ может переместить элемент в $j$место на $\sigma (j)$место или
2. он может сделать обратное, переместив элемент из $\sigma (j)$место на $j$е место.

Каждое из этих толкований значения «действия» $\sigma$ (по местам) одинаково естественны, и оба широко используются математиками. Таким образом, встречая пример действия «место-перестановка», надо позаботиться о том, чтобы определить по контексту, какая интерпретация имеется в виду, если автор не приводит конкретных формул.

Рассмотрим первую интерпретацию. Следующие описания являются эквивалентными способами описания правила для первой интерпретации действия:

• Для каждого $j$, переместите элемент в $j$место на $\sigma (j)$е место.
• Для каждого $j$, переместите элемент в $\sigma ^{-1}(j)$место на $j$е место.
• Для каждого $j$, замените элемент в $j$позиция по сравнению с той, которая была в $\sigma ^{-1}(j)$е место.

Это действие можно записать как правило $x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{\sigma ^{-1}(1)}\cdots x_{\sigma ^{-1}(n)}$.

Теперь, если мы поступим с этим с помощью другой перестановки $\tau$ тогда нам нужно сначала переименовать элементы, написав $y_{1}\cdots y_{n}=x_{\sigma ^{-1}(1)}\cdots x_{\sigma ^{-1}(n)}$. Затем $\tau$ отвезет это в $y_{\tau ^{-1}(1)}\cdots y_{\tau ^{-1}(n)}=x_{\sigma ^{-1}\tau ^{-1}(1)}\cdots x_{\sigma ^{-1}\tau ^{-1}(n)}=x_{(\tau \sigma )^{-1}(1)}\cdots x_{(\tau \sigma )^{-1}(n)}.$ Это доказывает, что действие является левым действием : $\tau \cdot (\sigma \cdot x)=(\tau \sigma )\cdot x$.

Теперь рассмотрим вторую интерпретацию действия $\sigma$, что является противоположностью первого. Следующие описания второй интерпретации эквивалентны:

• Для каждого $j$, переместите элемент в $j$место на $\sigma ^{-1}(j)$е место.
• Для каждого $j$, переместите элемент в $\sigma (j)$место на $j$е место.
• Для каждого $j$, замените элемент в $j$позиция по сравнению с той, которая была в $\sigma (j)$е место.

Это действие можно записать как правило $x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}$.

Чтобы действовать на это с помощью другой перестановки $\tau$, снова сначала мы переименовываем элементы, написав $y_{1}\cdots y_{n}=x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}$. Тогда действие $\tau$ отвезет это в $y_{\tau (1)}\cdots y_{\tau (n)}=x_{\sigma \tau (1)}\cdots x_{\sigma \tau (n)}=x_{(\sigma \tau )(1)}\cdots x_{(\sigma \tau )(n)}.$ Это доказывает, что наша вторая интерпретация действия является правильным действием : $(x\cdot \sigma )\cdot \tau =x\cdot (\sigma \tau )$.

Пример

Если $\sigma =(1,2,3)$ это 3-цикл $1\to 2\to 3\to 1$ и $\tau =(1,3)$ это транспозиция $1\to 3\to 1$, то, поскольку мы пишем карты слева от их аргументов, имеем $\sigma \tau =(1,2,3)(1,3)=(2,3),\quad \tau \sigma =(1,3)(1,2,3)=(1,2).$ Используя первую интерпретацию, мы имеем $x=x_{1}x_{2}x_{3}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{3}x_{1}x_{2}{\overset {\tau }{\longrightarrow }}x_{2}x_{1}x_{3}$, результат которого согласуется с действием $\tau \sigma =(1,2)$ на $x=x_{1}x_{2}x_{3}$. Так $\tau \cdot (\sigma \cdot x)=(\tau \sigma )\cdot x$.

С другой стороны, если мы воспользуемся второй интерпретацией, мы получим $x=x_{1}x_{2}x_{3}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{2}x_{3}x_{1}{\overset {\tau }{\longrightarrow }}x_{1}x_{3}x_{2}$, результат которого согласуется с действием $\sigma \tau =(2,3)$ на $x=x_{1}x_{2}x_{3}$. Так $(x\cdot \sigma )\cdot \tau =x\cdot (\sigma \tau )$.

Карты написаны справа

Иногда людям нравится писать карты справа своих аргументов. Это удобное соглашение, которое можно принять, например, при работе с симметрическими группами как алгебрами диаграмм, поскольку тогда композиции можно читать слева направо, а не справа налево. Вопрос в том, как это влияет на две интерпретации действия перестановки мест симметричной группы?

Ответ прост. Написав карты справа, а не слева, мы меняем порядок композиции на обратный, поэтому фактически заменяем ${\mathfrak {S}}_{n}$ своей противоположной группой ${\mathfrak {S}}_{n}^{\text{op}}$. Это одна и та же группа, но порядок составов обратный.

Изменение порядка композиций, очевидно, меняет левые действия на правые и наоборот, меняет правые действия на левые. Это означает, что наша первая интерпретация становится правым действием, а вторая — левым .

В символах это означает, что действие $x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{1\sigma ^{-1}}\cdots x_{n\sigma ^{-1}}$ теперь является правильным действием, а действие $x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{1\sigma }\cdots x_{n\sigma }$ теперь левое действие.

Пример

Мы позволяем $\sigma =(1,2,3)$ быть 3-циклом $1\to 2\to 3\to 1$ и $\tau =(1,3)$ транспозиция $1\to 3\to 1$, как и прежде. Поскольку теперь мы пишем карты справа от их аргументов, мы имеем $\sigma \tau =(1,2,3)(1,3)=(1,2),\quad \tau \sigma =(1,3)(1,2,3)=(2,3).$ Используя первую интерпретацию, мы имеем $x=x_{1}x_{2}x_{3}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{3}x_{1}x_{2}{\overset {\tau }{\longrightarrow }}x_{2}x_{1}x_{3}$, результат которого согласуется с действием $\sigma \tau =(1,2)$ на $x=x_{1}x_{2}x_{3}$. Так $(x\cdot \sigma )\cdot \tau =x\cdot (\sigma \tau )$.

С другой стороны, если мы воспользуемся второй интерпретацией, мы получим $x=x_{1}x_{2}x_{3}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{2}x_{3}x_{1}{\overset {\tau }{\longrightarrow }}x_{1}x_{3}x_{2}$, результат которого согласуется с действием $\tau \sigma =(2,3)$ на $x=x_{1}x_{2}x_{3}$. Так $\tau \cdot (\sigma \cdot x)=(\tau \sigma )\cdot x$.

Краткое содержание

В заключение суммируем четыре возможности, рассмотренные в этой статье. Вот четыре варианта:

Правило	Тип действия
$x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{\sigma ^{-1}(1)}\cdots x_{\sigma ^{-1}(n)}$	левое действие
$x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{\sigma (1)}\cdots x_{\sigma (n)}$	правильное действие
$x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{1\sigma ^{-1}}\cdots x_{n\sigma ^{-1}}$	правильное действие
$x_{1}\cdots x_{n}{\overset {\sigma }{\longrightarrow }}x_{1\sigma }\cdots x_{n\sigma }$	левое действие

Хотя существует четыре варианта, существует только два разных способа действия; Четыре варианта возникают в результате выбора написания карт слева или справа, выбор, который является чисто условностью.

Ссылки

• Том Халверсон и Арун Рам, «Алгебры разделов», European J. Combin. 26 (2005), вып. 6, 869–921.
• Томас Хангерфорд, Алгебра . Конспекты лекций Springer 73, Springer-Verlag, 1974.
• Гордон Д. Джеймс, Теория представлений симметричных групп . Конспект лекций по математике. 682 (1978), Спрингер.
• Герман Вейль, Классические группы: их инварианты и представления . Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1939.