Все лошади одного цвета

«Парадокс лошади» перенаправляется сюда. О китайском парадоксе белой лошади см. « Когда белая лошадь не лошадь» .

Все лошади одного цвета — это ложный парадокс , возникающий из-за ошибочного использования математической индукции для доказательства утверждения « Все лошади одного цвета» . На самом деле противоречия нет, поскольку эти аргументы имеют существенный недостаток, который делает их неверными. Этот пример первоначально был поднят Джорджем Полиа в книге 1954 года в различных терминах: «Равны ли какие-либо n чисел?» или «У всех n девочек глаза одинакового цвета» в качестве упражнения по математической индукции. Это также было переформулировано как «Все коровы одного цвета».

«Лошадиная» версия парадокса была представлена ​​в 1961 году в сатирической статье Джоэла Э. Коэна . Она была изложена в виде леммы , которая, в частности, позволила автору «доказать», что Александра Македонского не существовало, и что у него было бесконечное количество конечностей.

Аргумент

Все лошади имеют одинаковый цветовой парадокс, шаг индукции неверен для n = 1.

Аргументация является доказательством по индукции . Сначала мы устанавливаем базовый вариант для одной лошади ( $n=1$). Затем мы докажем, что если $n$ лошади одного цвета, то $n+1$ лошади также должны быть одного цвета.

Базовый вариант: одна лошадь

Случай с одной лошадью тривиален. Если в «группе» только одна лошадь, то очевидно, что все лошади в этой группе имеют одинаковую масть.

Индуктивный шаг

Предположим, что $n$ лошади всегда одного цвета. Рассмотрим группу, состоящую из $n+1$ лошади.

Сначала исключите одну лошадь и посмотрите только на другую. $n$ лошади; все они одного цвета, так как $n$ лошади всегда одного цвета. Аналогично исключите какую-нибудь другую лошадь (не идентичную той, которую удалили первой) и смотрите только на другую. $n$ лошади. По тому же рассуждению они тоже должны быть одного цвета. Таким образом, первая исключенная лошадь имеет тот же цвет, что и неисключенные лошади, которые, в свою очередь, имеют тот же цвет, что и другая исключенная лошадь. Следовательно, первая исключенная лошадь, неисключенные лошади и последняя исключенная лошадь — все одного цвета, и мы доказали, что:

• Если $n$ лошади одного цвета, то $n+1$ лошади также будут иметь тот же цвет.

В базовом случае мы уже видели, что правило («все лошади одного цвета») справедливо для $n=1$. Доказанный здесь индуктивный шаг означает, что, поскольку правило справедливо для $n=1$, оно также должно быть действительным для $n=2$, что, в свою очередь, означает, что правило справедливо для $n=3$ и так далее.

Таким образом, в любой группе лошадей все лошади должны быть одной масти.

Объяснение

В приведенном выше аргументе неявно предполагается, что набор $n+1$ лошади имеют размер не менее 3, так что две подгруппы лошадей, к которым применяется предположение индукции, обязательно будут иметь общий элемент. Это неверно на первом этапе индукции, т. е. когда $n+1=2$.

Две лошади разного цвета, дающие контрпример к общей теореме.

Пусть двумя лошадьми будут лошадь А и лошадь Б. Когда лошадь А удаляется, верно, что остальные лошади в наборе имеют одинаковую масть (остается только лошадь Б). То же самое происходит, когда лошадь Б удаляется. Однако утверждение «первая исключенная лошадь имеет ту же масть, что и неисключенные лошади, которые, в свою очередь, той же масти, что и другая исключенная лошадь» бессмысленно, поскольку не существует «неисключенных лошадей». (общие элементы (лошади) в двух наборах, поскольку каждая лошадь исключается один раз). Следовательно, в приведенном выше доказательстве логическая связь нарушена. Доказательство представляет собой ложный парадокс ; кажется, что посредством верных рассуждений он показывает нечто явно ложное, но на самом деле рассуждение ошибочно.

См. также

• Неожиданный парадокс зависания
• Список парадоксов
• Когда белая лошадь — не лошадь