Степенной автоморфизм

В математике , в области теории групп , степенной автоморфизм группы , — это автоморфизм который переводит каждую подгруппу группы внутрь себя. Стоит отметить, что степенной автоморфизм бесконечной группы не может ограничиваться автоморфизмом на каждой подгруппе. Например, автоморфизм рациональных чисел , который переводит каждое число в его дубль, является степенным автоморфизмом, даже если он не ограничивается автоморфизмом в каждой подгруппе.

Альтернативно, степенные автоморфизмы характеризуются как автоморфизмы, которые переводят каждый элемент группы в некоторую степень этого элемента. Этим объясняется выбор термина власть . Степенные автоморфизмы группы образуют подгруппу всей группы автоморфизмов . Эта подгруппа обозначается как $Pot(G)$ где $G$ это группа.

Универсальный степенной автоморфизм — это степенной автоморфизм, в котором степень, до которой возводится каждый элемент, одинакова. Например, каждый элемент может перейти в свой куб. Вот некоторые факты об индексе мощности:

• Индекс мощности должен быть относительно простым порядку каждого элемента. В частности, он должен быть относительно простым порядку группы , если группа конечна.
• Если группа абелева , подойдет любой показатель степени.
• Если работает индекс степени 2 или -1, то группа абелева.

Группа степенных автоморфизмов коммутирует с группой внутренних автоморфизмов , если рассматривать их как подгруппы группы автоморфизмов. Так, в частности, степенные автоморфизмы, которые также являются внутренними, должны возникать в результате сопряжений элементами второй группы верхнего центрального ряда .

Ссылки

• Решетки подгрупп групп Роланда Шмидта (файл PDF)