Большое множество (теория Рэмси)

В теории Рамсея множество S можно обобщить , натуральных чисел считается большим тогда и только тогда, когда Ван дер Вардена чтобы утверждать существование арифметических прогрессий с общей разностью в S. теорему То есть S велико тогда и только тогда, когда каждое конечное разбиение натуральных чисел имеет ячейку, содержащую сколь угодно длинные арифметические прогрессии, имеющие общие разности в S .

Примеры

Натуральные числа большие. Именно это и есть утверждение теоремы Ван дер Вардена .
Четные числа большие.

Характеристики

К необходимым условиям крупности относятся:

Если S велико, для любого натурального числа n ) S должно содержать хотя бы одно кратное (т. е. бесконечное число кратных n .
Если $S=\{s_{1},s_{2},s_{3},\dots \}$ велико, то это не тот случай, когда s _k ≥3 s _k-1 для k ≥ 2.

Два достаточных условия:

Если S содержит n-кубов для сколь угодно большого n, то S велико.
Если $S=p(\mathbb {N} )\cap \mathbb {N}$ где $p$ представляет собой многочлен с $p(0)=0$ и положительный ведущий коэффициент, то $S$ большой.

Первое достаточное условие означает, что если S — толстое множество , то S велико.

Другие факты о больших наборах включают в себя:

Если S велико, а F конечно, то S – F велико.
$k\cdot \mathbb {N} =\{k,2k,3k,\dots \}$ большой.
Если S велико, $k\cdot S$ также велик.

Если $S$ велико, то для любого $m$ , $S\cap \{x:x\equiv 0{\pmod {m}}\}$ большой.

2-больших и k-больших наборов

Множество является k -большим для натурального числа k > 0, когда оно удовлетворяет условиям большой величины, когда переформулировка теоремы Ван дер Вардена касается только k -раскрасок. Каждое множество либо велико, либо k -большо для некоторого максимального k . Это следует из двух важных, хотя и тривиально верных фактов:

k- большая величина подразумевает ( k -1)-большую величину для k>1
k -размерность для всех k подразумевает размерность.

Неизвестно, существуют ли 2-большие множества, которые не являются также большими множествами. Браун, Грэм и Ландман (1999) предполагают, что таких множеств не существует.

См. также

Раздел набора

Дальнейшее чтение

Браун, Том; Грэм, Рональд ; Ландман, Брюс (1999). «О множестве общих различий в теореме Ван дер Вардена об арифметических прогрессиях» . Канадский математический бюллетень . 42 (1): 25–36. дои : 10.4153/cmb-1999-003-9 .

Внешние ссылки

Математический мир: теорема Ван дер Вардена