Число Левенхайма

В математической логике абстрактной число Левенгейма логики - это наименьшее кардинальное число , для которого справедлива слабая нисходящая теорема Левенгейма – Скулема . ^{[ 1 ]} Они названы в честь Леопольда Левенхайма , который доказал, что они существуют для очень широкого класса логик.

Абстрактная логика

Абстрактная логика для чисел Левенгейма состоит из:

Сборник «предложений»;
Коллекция «моделей», каждой из которых присвоена мощность;
Отношение между предложениями и моделями, которое говорит, что определенное предложение «удовлетворяется» конкретной моделью.

Теорема не требует каких-либо особых свойств предложений или моделей или отношения удовлетворения, и они могут отличаться от свойств в обычной логике первого порядка . Таким образом, это применимо к очень широкому набору логик, включая логику первого порядка , логику высшего порядка и бесконечную логику .

Определение

Число Левенгейма логики L — это наименьший кардинал κ, такой, что если произвольное предложение логики L имеет какую-либо модель, это предложение имеет модель мощности не больше κ .

Левенхайм доказал существование этого кардинала для любой логики, в которой совокупность предложений образует множество , используя следующий аргумент. Учитывая такую логику, для каждого предложения φ пусть κ _φ будет наименьшей мощностью модели φ , если φ имеет какую-либо модель, и пусть κ _φ будет 0 в противном случае. Тогда множество кардиналов

{ κ _φ : φ — предложение в L }

существует по аксиоме замены . этого Верхняя грань множества по построению является числом Левенгейма L . Этот аргумент неконструктивен: он доказывает существование числа Левенгейма, но не дает непосредственного способа его вычисления.

Расширения

Были рассмотрены два расширения определения: ^{[ 2 ]}

Число Левенгейма–Скулема абстрактной логики L — это наименьший кардинал κ такой, что если любой набор предложений T ⊆ L имеет модель, то он имеет модель размера не больше max(| T |, κ ) .
Число Левенгейма –Сколема–Тарского для L — это наименьший кардинал, такой, что если A либо структура для L, то существует элементарная подструктура A κ размером не более — какая - . Для этого необходимо, чтобы логика имела подходящее понятие «элементарной подструктуры», например, используя обычное определение «структуры» из логики предикатов.

Для любой логики, для которой эти числа существуют, число Левенгейма–Скулема–Тарского будет не меньше числа Левенгейма–Скулема, которое, в свою очередь, будет не меньше числа Левенгейма.

Обратите внимание, что иногда используются версии этих определений, заменяющие «имеет модель размером не больше» на «имеет модель меньше», поскольку это дает более детальную классификацию. ^{[ 2 ]}

Примеры

Теорема Левенхайма-Скулема показывает, что число Левенгейма-Скулема-Тарского логики первого порядка (со счетными сигнатурами) равно ℵ ₀ . Это означает, в частности, что если предложение логики первого порядка выполнимо, то оно выполнимо и в счетной модели.
Известно, что число Левенгейма–Скулема логики второго порядка больше первого измеримого кардинала , если измеримый кардинал существует. ^{[ 2 ]} (То же самое относится и к ее числу Ханфа .) Однако число Левенгейма универсальной (фрагмента) логики второго порядка меньше первого суперкомпактного кардинала (при условии, что он существует).
Число Левенхайма – Сколема – Тарского логики второго порядка представляет собой верхнюю грань всех ординалов, определяемых с помощью $\Pi _{2}$ формула. ^{[ 3 ]}^{Следствие 4.7.}

Примечания

^ Чжан 2002, стр. 77
^ Jump up to: ^а ^б ^с Магидор и Вяэнянен 2009/2010
^ Й. Вяэнянен, Логика сортировки и основы математики . В «Бесконечности и истине» , серия конспектов лекций Института математических наук Национального университета Сингапура, том. 25 (2014), World Scientific, стр. 171–186.

Ссылки

Менахем Магидор и Йоуко Вяэнянен . « О числах Левенхайма-Сколема-Тарского для расширений логики первого порядка », Отчет № 15 (2009/2010) Института Миттаг-Леффлера.
И Чжан Логика и алгебра 2002. ISBN 0-8218-2984-X

[1] Чжан 2002, стр. 77

[name-2] Jump up to: ^а ^б ^с Магидор и Вяэнянен 2009/2010

[3] Й. Вяэнянен, Логика сортировки и основы математики . В «Бесконечности и истине» , серия конспектов лекций Института математических наук Национального университета Сингапура, том. 25 (2014), World Scientific, стр. 171–186.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]