Уравнение Уильямса – Ланделя – Ферри

Уильямса - Ланделя - Ферри Уравнение (или уравнение WLF ) представляет собой эмпирическое уравнение, связанное с суперпозицией времени и температуры .

Уравнение ВЛФ имеет вид

$\log(a_{T})={\frac {-C_{1}(T-T_{\mathrm {r} })}{C_{2}+(T-T_{\mathrm {r} })}}$

где $\log(a_{T})$ - десятичный логарифм коэффициента сдвига WLF, T представляет собой температуру, T _r представляет собой эталонную температуру, выбранную для построения основной кривой соответствия , а C ₁ , C ₂ представляют собой эмпирические константы, скорректированные для соответствия значениям параметра суперпозиции a _T .

Уравнение можно использовать для аппроксимации (регрессии) дискретных значений коэффициента сдвига a _T в зависимости от температуры. Здесь значения коэффициента сдвига a _T получаются путем горизонтального сдвига log(a _T ) данных о податливости ползучести , построенных в зависимости от времени или частоты в двойном логарифмическом масштабе, так что набор данных, полученный экспериментально при температуре T, накладывается на набор данных при температуре T. _р . минимум три значения _T необходимы _{Для получения C 1} , C ₂ , а обычно используется более трех.

После построения уравнение WLF позволяет оценить коэффициент температурного сдвига для температур, отличных от тех, при которых материал испытывался. Таким образом, основную кривую можно применить к другим температурам. Однако когда константы получены с использованием данных при температурах выше температуры стеклования (Tg ₎ , уравнение WLF применимо только к температурам, равным или превышающим _Tg ; константы положительны и представляют поведение Аррениуса . Экстраполяция на температуры ниже T _g ошибочна. Когда константы получены с данными при температурах ниже T _g , получаются отрицательные значения C ₁ , C ₂ , которые неприменимы выше T _g и не отражают поведение Аррениуса. Следовательно, константы, полученные выше Tg _, бесполезны для прогнозирования реакции полимера для структурных применений, которые обязательно должны работать при температурах ниже _Tg .

Уравнение WLF является следствием суперпозиции время-температура (TTSP), которая математически представляет собой применение Принцип суперпозиции Больцмана. Именно TTSP, а не WLF, позволяет построить основную кривую соответствия, которая охватывает больше времени или частоты, чем предусмотрено временем, доступным для экспериментов, или частотным диапазоном приборов, таких как динамический механический анализатор (DMA) .

По мнению Струика, хотя временной интервал основной кривой TTSP широк, это действительно только в том случае, если наборы данных не пострадали от эффектов старения во время тестирования. Даже в этом случае основная кривая представляет собой гипотетический материал, который не стареет. Теория эффективного времени. необходимо использовать для получения полезных прогнозов на долгосрочную перспективу.

Имея данные выше T _g , можно прогнозировать поведение (податливость, модуль упругости и т. д.) вязкоупругих материалов для температур T>T _g и/или для времен/частот больше/медленнее, чем время, доступное для экспериментирования. С помощью основной кривой и связанного с ней уравнения WLF можно предсказать механические свойства полимера вне временной шкалы машины (обычно $10^{-2}$ к $10^{2}$ Гц), тем самым экстраполируя результаты многочастотного анализа на более широкий диапазон, выходящий за пределы диапазона измерения машины.

Прогнозирование влияния температуры на вязкость с помощью уравнения WLF

См. Также: Температурная зависимость вязкости жидкости.

Модель Уильямса-Ландела-Ферри , или WLF сокращенно , обычно используется для расплавов полимеров или других жидкостей, имеющих температуру стеклования .

Модель:

$\mu (T)\,=\,\mu _{0}10^{\left({\frac {-C_{1}(T-T_{r})}{C_{2}+T-T_{r}}}\right)}$

где Т - температура, $C_{1}$, $C_{2}$, $T_{r}$ и $\mu _{0}$ являются эмпирическими параметрами (только три из них независимы друг от друга).

Если выбрать параметр $T_{r}$ исходя из температуры стеклования, то параметры $C_{1}$, $C_{2}$ становятся очень похожими для широкого класса полимеров . Обычно, если $T_{r}$ устанавливается в соответствии с температурой стеклования $T_{g}$, мы получаем

$C_{1}\approx$17.44

и

$C_{2}\approx 51.6$ К.

Ван Кревелен рекомендует выбрать

$T_{r}\,=\,T_{g}+43$ К, тогда

$C_{1}\approx 8.86$

и

$C_{2}\approx$101,6 К.

Использование таких универсальных параметров позволяет угадать температурную зависимость полимера, зная вязкость при одной температуре.

На самом деле универсальные параметры не так уж и универсальны, и гораздо лучше подогнать параметры WLF к экспериментальным данным в интересующем диапазоне температур.

Дальнейшее чтение

• Модель Уильямса-Ландела-Ферри
• Суперпозиция времени и температуры
• вязкоупругость