Температурная зависимость вязкости

Вязкость сильно зависит от температуры. В жидкостях она обычно уменьшается с повышением температуры, тогда как в большинстве газов вязкость увеличивается с повышением температуры. В данной статье обсуждается несколько моделей этой зависимости: от строгих расчетов из первых принципов для одноатомных газов до эмпирических корреляций для жидкостей.

Понимание температурной зависимости вязкости важно для многих применений, например, для технических смазочных материалов , которые хорошо работают в различных температурных условиях (например, в автомобильном двигателе), поскольку характеристики смазочного материала частично зависят от его вязкости. Инженерные задачи этого типа относятся к ведению трибологии .

Здесь динамическая вязкость обозначается $\mu$ и кинематическая вязкость по $\nu$ . Приведенные формулы справедливы только для абсолютной шкалы температур ; поэтому, если не указано иное, температуры указаны в кельвинах .

Физические причины

Вязкость газов возникает из-за того, что молекулы пересекают слои потока и передают импульс между слоями. Эту передачу импульса можно рассматривать как силу трения между слоями потока. Поскольку передача импульса вызвана свободным движением молекул газа между столкновениями, увеличение теплового возбуждения молекул приводит к увеличению вязкости. Следовательно, вязкость газа увеличивается с температурой.

В жидкостях силы вязкости возникают из-за того, что молекулы оказывают друг на друга силы притяжения в разных слоях потока. Повышение температуры приводит к уменьшению вязкости, поскольку более высокая температура означает, что частицы обладают большей тепловой энергией и им легче преодолевать силы притяжения, связывающие их вместе. Повседневным примером снижения вязкости является то, что растительное масло движется более плавно на горячей сковороде, чем на холодной.

Газы

Кинетическая теория газов позволяет точно рассчитать изменение вязкости газа в зависимости от температуры. Теоретической основой кинетической теории являются уравнение Больцмана и теория Чепмена-Энскога , которые позволяют точное статистическое моделирование молекулярных траекторий. В частности, имея модель межмолекулярных взаимодействий, можно с высокой точностью рассчитать вязкость одноатомных и других простых газов (для более сложных газов, например состоящих из полярных молекул , необходимо вводить дополнительные предположения, снижающие точность теории). ). ^{[ 1 ]}

Прогнозы вязкости для четырех молекулярных моделей обсуждаются ниже. Предсказания первых трех моделей (твердой сферы, степенной модели и модели Сазерленда) можно просто выразить через элементарные функции. Модель Леннарда-Джонса предсказывает более сложную ситуацию. $T$ -зависимость, но является более точной, чем три другие модели, и широко используется в инженерной практике.

Кинетическая теория твердых сфер

Если моделировать молекулы газа как упругие твердые сферы (с массой $m$ и диаметр $\sigma$ ), то элементарная кинетическая теория предсказывает, что вязкость увеличивается пропорционально квадратному корню из абсолютной температуры $T$ :

\mu =1.016\cdot {\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\rm {B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}

где $k_{\text{B}}$ — постоянная Больцмана . Правильно предсказывая увеличение вязкости газа с температурой, $T^{1/2}$ тренд неточный; вязкость реальных газов возрастает быстрее. Захват фактического $T$ зависимость требует более реалистичных моделей молекулярных взаимодействий, в частности включения притягивающих взаимодействий, которые присутствуют во всех реальных газах. ^{[ 2 ]}

Степенная сила

Небольшим улучшением по сравнению с моделью твердых сфер является сила отталкивания, обратная степенному закону, где сила между двумя молекулами, разделенными расстоянием $r$ пропорционально $1/r^{\nu }$ , где $\nu$ является эмпирическим параметром. ^{[ 3 ]} Это нереалистичная модель для реальных газов (за исключением, возможно, высоких температур), но она дает простую иллюстрацию того, как изменение межмолекулярных взаимодействий влияет на предсказанную температурную зависимость вязкости. В этом случае кинетическая теория предсказывает повышение температуры как $T^{s}$ , где $s=(1/2)+2/(\nu -1)$ . Точнее, если $\mu '$ - известная вязкость при температуре $T'$ , затем

\mu =\mu '(T/T')^{s}

принимая $\nu \rightarrow \infty$ восстанавливает результат твердой сферы, $s=1/2$ . Для конечного $\nu$ , соответствующий более мягкому отталкиванию, $s$ больше, чем $1/2$ , что приводит к более быстрому увеличению вязкости по сравнению с моделью твердых сфер. Подгонка к экспериментальным данным для водорода и гелия дает предсказания $s$ и $\nu$ показано в таблице. Модель умеренно точна для этих двух газов, но неточна для других газов.

Таблица: Параметры потенциала обратного степенного закона для водорода и гелия ^{[ 3 ]}
Газ	$s$	$v$	Темп. диапазон (К)
Водород	0.668	12.9	273–373
Гелий	0.657	13.7	43–1073

Модель Сазерленда

Еще одна простая модель вязкости газов — это модель Сазерленда, которая добавляет к модели твердых сфер слабое межмолекулярное притяжение. ^{[ 4 ]} Если притяжения малы, к ним можно относиться пертурбативно , что приводит к

\mu ={\frac {5}{16\sigma ^{2}}}\left({\frac {k_{\text{B}}mT}{\pi }}\right)^{1/2}\cdot \left(1+{\frac {S}{T}}\right)^{-1}

где $S$ , называемая постоянной Сазерленда, может быть выражена через параметры силы межмолекулярного притяжения. Эквивалентно, если $\mu '$ — известная вязкость при температуре $T'$ , затем

\mu =\mu '\left({\frac {T}{T'}}\right)^{3/2}{\frac {T'+S}{T+S}}

Ценности $S$ полученные в результате подгонки к экспериментальным данным, приведены в таблице ниже для нескольких газов. Модель умеренно точна для ряда газов ( азота , кислорода , аргона , воздуха и других), но неточна для других газов, таких как водород и гелий . В целом утверждалось, что модель Сазерленда на самом деле является плохой моделью межмолекулярных взаимодействий и полезна только как простая интерполяционная формула для ограниченного набора газов в ограниченном диапазоне температур.

Таблица: Константы Сазерленда некоторых газов ^{[ 4 ]}
Газ	$S$ (К)	Темп. диапазон (К)
Сухой воздух	113	293–373
Гелий	72.9	293–373
Неон	64.1	293–373
Аргон	148	293–373
Криптон	188	289–373
Ксенон	252	288–373
Азот	104.7	293–1098
Кислород	125	288–1102

Леннард-Джонс

При достаточно общих условиях молекулярной модели предсказание кинетической теории для $\mu$ можно записать в форме

\mu ={\frac {5}{16\pi ^{1/2}}}{\frac {(mk_{\text{B}}T)^{1/2}}{\sigma ^{2}\Omega (T)}}

где $\Omega$ называется интегралом столкновений и является функцией температуры, а также параметров межмолекулярного взаимодействия. ^{[ 5 ]} Оно полностью определяется кинетической теорией, выражаясь через интегралы по траекториям столкновений пар молекул. В общем, $\Omega$ представляет собой сложную функцию как температуры, так и молекулярных параметров; Степенная модель и модель Сазерленда необычны тем, что $\Omega$ можно выразить через элементарные функции.

Модель Леннарда – Джонса предполагает межмолекулярный парный потенциал вида

V(r)=4\epsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right]

где $\epsilon$ и $\sigma$ являются параметрами и $r$ – расстояние, разделяющее центры масс молекул. Таким образом, модель предназначена для сферически-симметричных молекул. Тем не менее, его часто используют для несферически симметричных молекул, если они не обладают большим дипольным моментом . ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Столкновительный интеграл $\Omega$ модель Леннарда-Джонса не может быть точно выражена через элементарные функции. Тем не менее, его можно рассчитать численно, и согласие с экспериментом хорошее – не только для сферически-симметричных молекул, таких как благородные газы , но и для многих многоатомных газов. ^{[ 6 ]} Примерная форма $\Omega$ также было предложено: ^{[ 7 ]}

\Omega (T)=1.16145\left(T^{*}\right)^{-0.14874}+0.52487e^{-0.77320T^{*}}+2.16178e^{-2.43787T^{*}}

где $T^{*}\equiv k_{\text{B}}T/\epsilon$ . Это уравнение имеет среднее отклонение всего 0,064 процента от диапазона. $0.3<T^{*}<100$ .

Ценности $\sigma$ и $\epsilon$ рассчитанные на основе экспериментальных данных, приведены в таблице ниже для нескольких распространенных газов.

Таблица: параметры Леннарда-Джонса некоторых газов ^{[ 8 ]}
Газ	$\sigma$ ( ангстремы )	$\epsilon /k_{\text{B}}$ (К)
Сухой воздух	3.617	97.0
Гелий	2.576	10.2
Водород	2.915	38.0
Аргон	3.432	122.4
Азот	3.667	99.8
Кислород	3.433	113
Углекислый газ	3.996	190
Метан	3.780	154

Жидкости

В отличие от газов, систематической микроскопической теории вязкости жидкости не существует. ^{[ 9 ]} Однако существует несколько эмпирических моделей, которые экстраполируют температурную зависимость на основе имеющихся экспериментальных значений вязкости.

Двухпараметрическая экспонента

Простая и широко распространенная эмпирическая корреляция вязкости жидкости представляет собой двухпараметрическую экспоненту:

\mu =Ae^{B/T}

Это уравнение было впервые предложено в 1913 году и широко известно как уравнение Андраде (названное в честь британского физика Эдварда Андраде ). Он точно описывает многие жидкости в широком диапазоне температур. Его форму можно объяснить моделированием переноса импульса на молекулярном уровне как процесса активированной скорости. ^{[ 10 ]} хотя физические предположения, лежащие в основе таких моделей, были поставлены под сомнение. ^{[ 11 ]}

В таблице ниже приведены ориентировочные значения $A$ и $B$ для представительных жидкостей. В литературе можно найти подробные таблицы этих параметров для сотен жидкостей. ^{[ 12 ]}

Подходящие параметры для корреляции $\mu =Ae^{B/T}$ ^{[ 13 ]}
Жидкость	Химическая формула	А (мПа·с)	Б (К)	Темп. диапазон (К)
Бром	Br_Бр2	0.0445	907.6	269–302
Ацетон	С ₃ Н ₆ О	0.0177	845.6	193–333
Бромоформ	CHBr_CHBr3	0.0332	1195	278–363
Пентан	С ₅ Ч ₁₂	0.0191	722.2	143–313
Бромбензол	С ₆ Ч ₅ Бр	0.02088	1170	273–423

Трех- и четырехпараметрические экспоненты

Также можно найти табличные экспоненты с дополнительными параметрами, например

\mu =A\exp {\left({\frac {B}{T-C}}\right)}

и

\mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{2}\right)}

Репрезентативные значения приведены в таблицах ниже.

Подходящие параметры для корреляции $\mu =A\exp {\left({\frac {B}{T-C}}\right)}$ ^{[ 14 ]}
Жидкость	Химическая формула	А (мПа·с)	Б (К)	С (К ⁻¹)	Темп. диапазон (К)
Меркурий	ртуть	0.7754	117.91	124.04	290–380
Фтор	F_Ф2	0.09068	45.97	39.377	60–85
Вести	Pb	0.7610	421.35	266.85	600–1200
Гидразин	N ₂H ₄	0.03625	683.29	83.603	280–450
Октановое число	С ₈ Ч ₁₈	0.007889	1456.2	−51.44	270–400

Подходящие параметры для корреляции $\mu =A\exp {\left({\frac {B}{T}}+CT+DT^{2}\right)}$ ^{[ 13 ]}
Жидкость	Химическая формула	А (мПа·с)	Б (К)	С (К ⁻¹)	Д (К ⁻²)	Темп. диапазон (К)
Вода	Н ₂ О	1.856·10 ⁻¹¹	4209	0.04527	−3.376·10 ⁻⁵	273–643
Этанол	С ₂ Н ₆ О	0.00201	1614	0.00618	−1.132·10 ⁻⁵	168–516
Бензол	С ₆ Ч ₆	100.69	148.9	−0.02544	2.222·10 ⁻⁵	279–561
Циклогексан	С ₆ Ч ₁₂	0.01230	1380	−1.55·10 ⁻³	1.157·10 ⁻⁶	280–553
Нафталин	С ₁₀ Ч ₈	3.465·10 ⁻⁵	2517	0.01098	−5.867·10 ⁻⁶	354–748

Модели кинематической вязкости

Влияние температуры на кинематическую вязкость $\nu$ также описывается рядом эмпирических уравнений. ^{[ 15 ]}

Формула Вальтера обычно записывается в виде

\log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda ))=A-B\,\log _{10}T

где $\lambda$ – константа сдвига, а $A$ и $B$ являются эмпирическими параметрами. В спецификациях смазочных материалов обычно указываются только две температуры, и в этом случае стандартное значение $\lambda$ = 0,7 обычно предполагается.

Модель Райта имеет вид

\log _{10}(\log _{10}(\nu +\lambda +f(\nu )))=A-B\,\log _{10}T

где дополнительная функция $f(v)$ К формуле Вальтера добавлялось часто полиномиальное соответствие экспериментальным данным.

Модель Ситона основана на кривой зависимости вязкости многих жидкостей ( хладагентов , углеводородов и смазочных материалов) от температуры и применяется в широком диапазоне температур и вязкости:

\ln \left({\ln \left({\nu +0.7+e^{-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-B\ln T

где $T$ абсолютная температура в Кельвинах, $\nu$ – кинематическая вязкость в сантистоксах , $K_{0}$ нулевого порядка — модифицированная функция Бесселя второго рода, $A$ и $B$ являются эмпирическими параметрами, специфичными для каждой жидкости.

Для зависимости вязкости жидкого металла от температуры Ситон предложил:

\ln \left({\ln \left({\nu +0.7+e^{-\nu }K_{0}\left({\nu +1.244067}\right)}\right)}\right)=A-{B \over T}

См. также

Примечания

^ Чепмен и Коулинг (1970)
^ Чепмен и Коулинг (1970), стр. 97–98, 226–230.
^ Jump up to: ^а ^б Чепмен и Коулинг (1970), стр. 230–232.
^ Jump up to: ^а ^б Чепмен и Коулинг (1970), стр. 232–234.
^ Jump up to: ^а ^б Рид, Праусниц и Полинг (1987), стр. 391–392.
^ Jump up to: ^а ^б Бёрд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 26–27.
^ Нойфельд, Янсен и Азиз (1972)
^ Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 864–865.
^ Рид, Праусниц и Полинг (1987), с. 433
^ Бёрд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 29–31.
^ Хильдебранд (1977)
^ См. Вишванат и Натараджан (1989); Вишванат и др. (2007 г.); Рид, Праусниц и Полинг (1987); и ссылки там
^ Jump up to: ^а ^б Рид, Праусниц и Полинг (1987)
^ Вишванатх и Натараджан (1989)
^ Ситон (2006)

Ссылки

Берд, Р. Байрон; Стюарт, Уоррен Э.; Лайтфут, Эдвин Н. (2007), Транспортные явления (2-е изд.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-470-11539-8 .
Чепмен, Сидней; Коулинг, Т.Г. (1970), Математическая теория неоднородных газов (3-е изд.), Cambridge University Press
Хильдебранд, Джоэл Генри (1977), Вязкость и диффузионная способность: прогнозное лечение , John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-03072-0
Нойфельд, Филип Д.; Янзен, Арканзас; Азиз, Р.А. (1972). «Эмпирические уравнения для расчета 16 интегралов транспортных столкновений Ω(l, s)* для потенциала Леннарда-Джонса (12–6)». Журнал химической физики . 57 (3): 1100–1102. Бибкод : 1972ЖЧФ..57.1100Н . дои : 10.1063/1.1678363 . ISSN 0021-9606 .
Рид, Роберт С.; Праусниц, Джон М.; Полинг, Брюс Э. (1987), Свойства газов и жидкостей , McGraw-Hill Book Company, ISBN 0-07-051799-1
Ситон, Кристофер Дж. (2006), «Корреляция вязкости и температуры для жидкостей», Tribology Letters , 22 : 67–78, doi : 10.1007/s11249-006-9071-2 , S2CID 97897211
Вишванатх, Д.С.; Натараджан, Г. (1989). Сборник данных по вязкости жидкостей . Издательская корпорация Hemisphere. ISBN 0-89116-778-1 .

[1] Чепмен и Коулинг (1970)

[2] Чепмен и Коулинг (1970), стр. 97–98, 226–230.

[Chapman232-3] Jump up to: ^а ^б Чепмен и Коулинг (1970), стр. 230–232.

[Chapman232b-4] Jump up to: ^а ^б Чепмен и Коулинг (1970), стр. 232–234.

[Reid391-5] Jump up to: ^а ^б Рид, Праусниц и Полинг (1987), стр. 391–392.

[Bird26-6] Jump up to: ^а ^б Бёрд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 26–27.

[7] Нойфельд, Янсен и Азиз (1972)

[8] Берд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 864–865.

[9] Рид, Праусниц и Полинг (1987), с. 433

[10] Бёрд, Стюарт и Лайтфут (2007), стр. 29–31.

[11] Хильдебранд (1977)

[12] См. Вишванат и Натараджан (1989); Вишванат и др. (2007 г.); Рид, Праусниц и Полинг (1987); и ссылки там

[Reid1987-13] Jump up to: ^а ^б Рид, Праусниц и Полинг (1987)

[14] Вишванатх и Натараджан (1989)

[15] Ситон (2006)

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]