метод Турана

В математике метод Турана обеспечивает нижние оценки экспоненциальных сумм и сумм комплексных степеней . Метод был применен к задачам равнораспределения .

Метод применим к суммам вида

$s_{\nu }=\sum _{n=1}^{N}b_{n}z_{n}^{\nu }\$

где b и z — комплексные числа , а ν охватывает диапазон целых чисел. Есть два основных результата, зависящих от размера комплексных чисел z .

Первая теорема Турана

Первый результат применим к суммам s _ν , где $|z_{n}|\geq 1$ для всех н . Для любого диапазона ν длины N , скажем ν = M + 1, ..., M + N , существует некоторый ν с | s _ν | хотя бы c ( M , N )| с ₀ | где

$c(M,N)=\left({\sum _{k=0}^{N-1}{\binom {M+k}{k}}2^{k}}\right)^{-1}\ .$

Сумма здесь может быть заменена более слабой, но простой $\left({\frac {N}{2e(M+N)}}\right)^{N-1}$.

Из этого результата мы можем вывести теорему Фабри о разрыве .

Вторая теорема Турана

Второй результат применим к суммам s _ν , где $|z_{n}|\leq 1$ для всех н . Предположим, что z упорядочены по убыванию абсолютного значения и масштабированы так, что | я ₁ | = 1. Тогда существует некоторый ν такой, что

$|s_{\nu }|\geq 2\left({\frac {N}{8e(M+N)}}\right)^{N}\min _{1\leq j\leq N}\left\vert {\sum _{n=1}^{j}b_{n}}\right\vert \ .$

См. также

• Теорема Турана в теории графов

Ссылки

• Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN  0-8218-0737-4 . Збл   0814.11001 .