Теорема о разрыве Фабри

В математике теорема разрыве — это результат аналитического продолжения комплексных Фабри о степенных рядов , ненулевые члены которых имеют порядки, между которыми имеется определенный «промежуток». Такой степенной ряд «плох» в том смысле, что его нельзя расширить до аналитической функции где-либо на границе своего круга сходимости .

Теорему можно вывести из первой основной теоремы метода Турана .

Формулировка теоремы

Пусть 0 < p ₁ < p ₂ < ... — последовательность целых чисел такая, что последовательность p _n / n расходится к ∞. Пусть ( α _j ) _{j ∈ N} — последовательность комплексных чисел такая, что степенной ряд

f(z)=\sum _{j\in \mathbf {N} }\alpha _{j}z^{p_{j}}

имеет радиус сходимости 1. Тогда единичная окружность является естественной границей ряда f .

Конверсы

Обратная теорема была установлена Джорджем Полиа . Если lim inf p _n / n конечен, то существует степенной ряд с последовательностью показателей p _n , радиусом сходимости, равным 1, но для которого единичная окружность не является естественной границей.

См. также

Ссылки

Монтгомери, Хью Л. (1994). Десять лекций о стыке аналитической теории чисел и гармонического анализа . Серия региональных конференций по математике. Том. 84. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-0737-4 . Збл 0814.11001 .
Эрдеш, Пал (1945). «Замечание об обратной теореме Фабри о разрыве». Труды Американского математического общества . 57 (1): 102–104. дои : 10.2307/1990169 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1990169 . Збл 0060.20303 .