Квадратные отклонения от среднего значения

Квадратные отклонения от среднего значения ( SDM ) являются результатом квадратичных отклонений . В теории вероятностей и статистике дисперсия определяется либо ожидаемым значением SDM (при рассмотрении теоретического распределения ), либо его средним значением (для фактических экспериментальных данных). Вычисления для дисперсионного анализа включают разделение суммы SDM.

Фон

Понимание связанных с этим вычислений значительно улучшается при изучении статистической ценности

$\operatorname {E} (X^{2})$, где $\operatorname {E}$ — оператор ожидаемого значения.

Для случайной величины $X$ со средним $\mu$ и дисперсия $\sigma ^{2}$,

$\sigma ^{2}=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.$

(Его вывод показан здесь .) Следовательно,

$\operatorname {E} (X^{2})=\sigma ^{2}+\mu ^{2}.$

Из вышеизложенного можно вывести следующее:

$\operatorname {E} \left(\sum \left(X^{2}\right)\right)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2},$

$\operatorname {E} \left(\left(\sum X\right)^{2}\right)=n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}.$

Выборочная дисперсия

Основная статья: Выборочная дисперсия

Сумма квадратов отклонений, необходимая для расчета выборочной дисперсии (перед принятием решения о делении на n или n - 1), проще всего вычисляется как

$S=\sum x^{2}-{\frac {\left(\sum x\right)^{2}}{n}}$

Из двух полученных ожиданий выше ожидаемое значение этой суммы равно

$\operatorname {E} (S)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}-{\frac {n\sigma ^{2}+n^{2}\mu ^{2}}{n}}$

что подразумевает

$\operatorname {E} (S)=(n-1)\sigma ^{2}.$

Это эффективно доказывает использование делителя n - 1 при вычислении несмещенной выборочной оценки σ. ² .

Разделение — дисперсионный анализ

Основная статья: Разделение сумм квадратов

В ситуации, когда данные доступны для k различных групп лечения размером n _i, где i варьируется от 1 до k , предполагается, что ожидаемое среднее значение каждой группы равно

$\operatorname {E} (\mu _{i})=\mu +T_{i}$

и дисперсия каждой группы лечения не отличается от популяционной дисперсии $\sigma ^{2}$.

Согласно нулевой гипотезе, согласно которой лечение не оказывает никакого эффекта, тогда каждое из $T_{i}$ будет нулевым.

Теперь можно вычислить три суммы квадратов:

Индивидуальный

$I=\sum x^{2}$

$\operatorname {E} (I)=n\sigma ^{2}+n\mu ^{2}$

Лечение

$T=\sum _{i=1}^{k}\left(\left(\sum x\right)^{2}/n_{i}\right)$

$\operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(\mu +T_{i})^{2}$

$\operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}+2\mu \sum _{i=1}^{k}(n_{i}T_{i})+\sum _{i=1}^{k}n_{i}(T_{i})^{2}$

При нулевой гипотезе, что методы лечения не вызывают различий и все $T_{i}$ равны нулю, ожидание упрощается до

$\operatorname {E} (T)=k\sigma ^{2}+n\mu ^{2}.$

Комбинация

$C=\left(\sum x\right)^{2}/n$

$\operatorname {E} (C)=\sigma ^{2}+n\mu ^{2}$

Суммы квадратов отклонений

Согласно нулевой гипотезе, разница любой пары I , T и C не содержит никакой зависимости от $\mu$, только $\sigma ^{2}$.

$\operatorname {E} (I-C)=(n-1)\sigma ^{2}$ полные квадратичные отклонения, или общая сумма квадратов

$\operatorname {E} (T-C)=(k-1)\sigma ^{2}$ лечение квадратичных отклонений, иначе говоря, объясненной суммы квадратов

$\operatorname {E} (I-T)=(n-k)\sigma ^{2}$ остаточные квадратичные отклонения, или остаточная сумма квадратов

Константы ( n - 1 ), ( k - 1 ) и ( n - k ) обычно называют числом степеней свободы .

Пример

В очень простом примере 5 наблюдений возникают в результате двух обработок. Первая обработка дает три значения: 1, 2 и 3, а вторая обработка дает два значения: 4 и 6.

$I={\frac {1^{2}}{1}}+{\frac {2^{2}}{1}}+{\frac {3^{2}}{1}}+{\frac {4^{2}}{1}}+{\frac {6^{2}}{1}}=66$

$T={\frac {(1+2+3)^{2}}{3}}+{\frac {(4+6)^{2}}{2}}=12+50=62$

$C={\frac {(1+2+3+4+6)^{2}}{5}}=256/5=51.2$

предоставление

Суммарные квадратичные отклонения = 66 − 51,2 = 14,8 с 4 степенями свободы.

Квадратные отклонения лечения = 62 − 51,2 = 10,8 с 1 степенью свободы.

Остаточные квадраты отклонений = 66 − 62 = 4 с 3 степенями свободы.

Двусторонний дисперсионный анализ

Этот раздел представляет собой отрывок из «Двустороннего дисперсионного анализа» . [ редактировать ]

В статистике двусторонний дисперсионный анализ (ANOVA) является расширением однофакторного дисперсионного анализа , который исследует влияние двух разных категориальных независимых переменных на одну непрерывную зависимую переменную . Двусторонний дисперсионный анализ направлен не только на оценку основного эффекта каждой независимой переменной, но также на то, существует ли какое-либо взаимодействие между ними.

См. также

• Абсолютное отклонение
• Алгоритмы расчета дисперсии
• Ошибки и остатки
• Наименьшие квадраты
• Среднеквадратическая ошибка
• Остаточная сумма квадратов
• Среднеквадратичное отклонение
• Разложение дисперсии