Неэластичный средний свободный путь

Неупругая средняя длина свободного пробега ( IMFP ) — это показатель того, как далеко электрон в среднем проходит через твердое тело, прежде чем потерять энергию.

Если монохроматический первичный пучок электронов падает на твердую поверхность, большинство падающих электронов теряют свою энергию, поскольку они сильно взаимодействуют с веществом , что приводит к возбуждению плазмонов , образованию электронно-дырочных пар и колебательному возбуждению. ^[2] Интенсивность в первичных электронов $I 0$ затухает зависимости от расстояния $d$ до твердого тела. Спад интенсивности можно выразить следующим образом:

I(d)=I_{0}\ e^{-d\ /\lambda (E)}

где $I (d)$ — интенсивность после того, как первичный электронный луч прошел через твердое тело на расстояние $d$ . Параметр $λ(E)$ , называемый неупругой средней длиной свободного пробега (IMFP), определяется как расстояние, которое может пройти электронный луч, прежде чем его интенсивность упадет до $1/ e$ от его начального значения. (Обратите внимание, что это уравнение тесно связано с законом Бера – Ламберта .)

Неупругую длину свободного пробега электронов можно грубо описать универсальной кривой, одинаковой для всех материалов. ^[1]^[3]

Знание IMFP необходимо для проведения ряда измерений с помощью электронной спектроскопии и микроскопии . ^[4]

Применение IMFP в XPS

Следующий, ^[5] IMFP используется для расчета эффективной длины затухания (EAL), средней глубины ускользания (MED) и информационной глубины (ID). Кроме того, можно использовать IMFP для внесения матричных поправок на коэффициент относительной чувствительности при количественном анализе поверхности. Более того, IMFP является важным параметром при моделировании фотоэлектронного транспорта в веществе методом Монте-Карло.

Расчеты ИМФП

Расчеты IMFP в основном основаны на алгоритме (полный алгоритм Пенна, FPA), разработанном Пенном, ^[6] экспериментальные оптические константы или расчетные оптические данные (для соединений). ^[5] FPA рассматривает событие неупругого рассеяния и зависимость функции потерь энергии (EFL) от передачи импульса, которая описывает вероятность неупругого рассеяния как функцию передачи импульса. ^[5]

Экспериментальные измерения ИМФП

Для измерения IMFP одним из хорошо известных методов является электронная спектроскопия упругого пика (EPES). ^[5]^[7] Этот метод измеряет интенсивность упруго рассеянных назад электронов определенной энергии от материала образца в определенном направлении. Применяя аналогичную технику к материалам, IMPP которых известен, измерения сравниваются с результатами моделирования Монте-Карло в тех же условиях. Таким образом, получается ИМФП определенного материала в определенном энергетическом спектре. Измерения EPES показывают среднеквадратическое отклонение (RMS) от 12% до 17% от теоретически ожидаемых значений. ^[5] Результаты расчетов и экспериментов показывают более высокое согласие для более высоких энергий. ^[5]

Для энергий электронов в диапазоне 30 кэВ – 1 МэВ IMFP можно напрямую измерить с помощью спектроскопии потерь энергии электронов в просвечивающем электронном микроскопе при условии, что известна толщина образца. Такие измерения показывают, что IMFP в элементарных твердых телах представляет собой не плавную, а колебательную функцию атомного номера . ^[8]

Для энергий ниже 100 эВ IMFP можно оценить в экспериментах по выходу вторичных электронов высокой энергии (SEY). ^[9] Поэтому анализируется SEY для произвольной падающей энергии в диапазоне 0,1–10 кэВ. Согласно этим экспериментам, модель Монте-Карло может быть использована для моделирования SEY и определения IMFP ниже 100 эВ.

Прогнозные формулы

Используя диэлектрический формализм, ^[4] МВФП $\lambda ^{-1}$ можно вычислить, решив следующий интеграл:

\lambda ^{-1}={\frac {1}{\pi E}}\int _{\omega _{\mathrm {min} }}^{\omega _{\mathrm {max} }}\,d\omega \int _{k_{-}}^{k_{+}}\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (k,\omega )}}\right)\,{\frac {dk}{k}}

( 1 )

с минимальными (максимальными) потерями энергии $\omega _{\mathrm {min} }$ ( $\omega _{\mathrm {max} }$ ), диэлектрическая функция $\epsilon$ , функция потерь энергии (ELF) $\mathrm {Im} ({\frac {-1}{\epsilon (k,\omega )}})$ и наименьшая и наибольшая передача импульса $k_{\pm }={\sqrt {2E}}\pm {\sqrt {2(E-\omega )}}$ . В общем, решение этого интеграла довольно сложно и применимо только для энергий выше 100 эВ. Таким образом, были введены (полу)эмпирические формулы для определения ИМФП.

Первый подход заключается в расчете IMFP по приближенной форме релятивистского уравнения Бете для неупругого рассеяния электронов в веществе. ^[5]^[10] Уравнение 2 справедливо для энергий от 50 эВ до 200 кэВ:

\lambda ^{-1}={\frac {\alpha (E)E}{E_{p}^{2}(\beta \ln {(\gamma \alpha (E)E)-(C/E)+(D/E)^{2}})}}

( 2 )

с

\alpha (E)={\frac {1+{\frac {E}{2m_{e}c^{2}}}}{1+{\frac {E}{m_{e}c^{2}}}}}={\frac {1+{\frac {E}{1021}}999.8}{(1+{\frac {E}{510}}998.9)^{2}}}

и

E_{p}=28.816\left({\frac {N_{\nu }\rho }{M}}\right)^{0.5}(\mathrm {eV} )

и энергия электрона $E$ в эВ выше уровня Ферми (проводники) или выше дна зоны проводимости (непроводники). $m_{e}$ - масса электрона, $c$ вакуумная скорость света, $N_{\nu }$ - количество валентных электронов на атом или молекулу, $\rho$ описывает плотность (в $\mathrm {\frac {g}{cm^{3}}}$ ), $M$ атомная или молекулярная масса и $\beta$ , $\gamma$ , $C$ и $D$ являются параметрами, определяемыми ниже. По уравнению 2 рассчитывается ИМФП и его зависимость от энергии электронов в конденсированном веществе.

Уравнение 2 получило дальнейшее развитие ^[5]^[11] найти соотношения для параметров $\beta$ , $\gamma$ , $C$ и $D$ для энергий от 50 эВ до 2 кэВ:

\beta =-1.0+9.44/(E_{p}^{2}+E_{g}^{2})^{0.5}+0.69\rho ^{0.1}(\mathrm {eV^{-1}} \mathrm {nm^{-1}} )

( 3 )

$\gamma =0.191\rho ^{-0.5}(\mathrm {eV^{-1}} )$
$C=19.7-9.1U(\mathrm {nm^{-1}} )$
$D=534-208U(\mathrm {eV} \mathrm {nm^{-1}} )$
$U={\frac {N_{\nu }\rho }{M}}=(E_{p}/28.816)^{2}$

Здесь энергия запрещенной зоны $E_{g}$ дается в эВ. Уравнения 2 и 3 также известны как уравнения ТТП-2М и обычно применимы для энергий от 50 эВ до 200 кэВ. Если пренебречь некоторыми материалами (алмаз, графит, Cs, кубический BN и гексагональный BN), которые не подчиняются этим уравнениям (из-за отклонений в $\beta$ ), уравнения ТТП-2М показывают точное согласие с измерениями.

Другим подходом для определения IMFP, основанным на уравнении 2, является формула S1. ^[5]^[12] Эту формулу можно применять для энергий от 100 эВ до 10 кэВ:

\lambda ^{-1}={\frac {(4+0.44Z^{0.5}+0.104E^{0.872})a^{1.7}}{Z^{0.3}(1-W)}}

с атомным номером $Z$ (средний атомный номер соединения), $W=0.06H$ или $W=0.02E_{g}$ ( $H$ — теплота образования соединения в эВ на атом) и среднее расстояние между атомами $a$ :

a^{3}={\frac {10^{21}M}{\rho N_{A}(g+h)}}(\mathrm {nm^{3}} )

с постоянной Авогадро $N_{A}$ и стехиометрические коэффициенты $g$ и $h$ описание бинарных соединений $G_{g}H_{h}$ . В этом случае атомный номер становится

Z={\frac {gZ_{g}+hZ_{h}}{g+h}}

с атомными номерами $Z_{g}$ и $Z_{h}$ из двух составляющих. Эта формула S1 показывает более высокое согласие с измерениями по сравнению с уравнением 2 . ^[5]

Расчет ИМФП по формуле ТТП-2М или по формуле S1 требует разных знаний некоторых параметров. ^[5] Применяя формулу ТТП-2М необходимо знать $M$ , $\rho$ и $N_{\nu }$ за проведение материалов (а также $E_{g}$ для непроводников). Используя формулу S1, знание атомного номера $Z$ (средний атомный номер соединений), $M$ и $\rho$ требуется для проводников. Если рассматриваются непроводящие материалы, необходимо также знать: $E_{g}$ или $H$ .

Аналитическая формула для расчета IMFP до 50 эВ была предложена в 2021 году. ^[4] был добавлен экспоненциальный член Поэтому к аналитической формуле, уже полученной из 1 , которая была применима для энергий до 500 эВ, :

\lambda ^{-1}={\frac {1}{2\pi a_{0}E}}\left(A\ln {\frac {4E}{I}}-{\frac {7C}{4E}}(1-\exp {(-AE/2C)})\right)

( 4 )

Для релятивистских электронов справедливо:

\lambda ^{-1}={\frac {1}{\pi a_{0}v^{2}}}\left(A\ln {\frac {2v^{2}}{I}}-{\frac {7C}{2v^{2}}}(1-\exp {(-Av^{2}/4C)})\right)

( 5 )

со скоростью электрона $v$ , $v^{2}=c^{2}\tau (\tau +2)/(\tau +1)^{2}$ и $\tau =E/c^{2}$ . $c$ обозначает скорость света. $\lambda$ и $a_{0}$ даны в нанометрах. Константы в 4 и 5 определяются следующим образом:

$A=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\,d\omega$
$A\ln {(I)}=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\ln {(\omega )}\,d\omega$
$C=\int _{0}^{\infty }\mathrm {Im} \left({\frac {-1}{\epsilon (\omega )}}\right)\omega \,d\omega$

Данные ИМФП

Данные IMFP можно получить из базы данных Национального института стандартов и технологий (NIST) по электронному неупругому среднему свободному пути. ^[13] или База данных NIST для моделирования электронных спектров для анализа поверхности (SESSA). ^[14] Данные содержат IMFP, определенные EPES для энергий ниже 2 кэВ. В противном случае ИМФП можно определить по формуле ТПП-2М или С1. ^[5]

См. также

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Сих, член парламента; Денч, Вашингтон (1979), «Количественная электронная спектроскопия поверхностей: стандартная база данных для неупругих средних пробегов электронов в твердых телах», Анализ поверхности и интерфейса , 1 : 2–11, doi : 10.1002/sia.740010103
^ Эгертон, РФ (1996) Спектроскопия потерь энергии электронов в электронном микроскопе (второе издание, Plenum Press, Нью-Йорк) ISBN 0-306-45223-5
^ Вернер, Вольфганг С.М. (2001), «Обзор электронного транспорта в твердых телах», Анализ поверхности и интерфейса , 31 (3): 141–176, doi : 10.1002/sia.973 , S2CID 95869994
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ле, Дай-Нам; Нгуен-Труонг, Хиеу Т. (2021). «Аналитическая формула для неупругого среднего свободного пробега электронов». Журнал физической химии C. 125 (34): 18946–18951. doi : 10.1021/acs.jpcc.1c05212 . S2CID 238685492 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Пауэлл, Седрик Дж. (2020). «Практическое руководство по неупругой средней длине свободного пробега, эффективной длине затухания, средней глубине выхода и информационной глубине в рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии». Журнал вакуумной науки и технологий А. 38 (23209).
^ Пенн, ДР (1987). «Расчеты средней длины свободного пробега электронов с использованием модельной диэлектрической функции». Физ. Преподобный Б. 35 (482): 482–486. Бибкод : 1987PhRvB..35..482P . дои : 10.1103/PhysRevB.35.482 . ПМИД 9941428 .
^ Пауэлл, CJ; Яблонски, А. (1999). «Оценка расчетных и измеренных средних неупругих пробегов электронов вблизи твердых поверхностей». Дж. Физ. хим. Ссылка. Данные . 28 (1): 19–28. Бибкод : 1999JPCRD..28...19P . дои : 10.1063/1.556035 .
^ Якубовский, Константин; Мицуиси, Казутака; Накаяма, Ёсико; Фуруя, Кадзуо (2008). «Средняя длина свободного пробега неупругого рассеяния электронов в элементарных твердых телах и оксидах с использованием просвечивающей электронной микроскопии: колебательное поведение, зависящее от атомного номера» . Физический обзор B . 77 (10): 104102. Бибкод : 2008PhRvB..77j4102I . дои : 10.1103/PhysRevB.77.104102 .
^ Ридзель, Ольга Юрьевна; Астасаускас, Витаутас; Вернер, Вольфганг С.М. (2020). «Значения неупругой длины свободного пробега низкоэнергетических электронов, определенные на основе анализа выходов вторичных электронов в диапазоне падающих энергий 0,1–10 кэВ» . Журнал электронной спектроскопии и связанных с ней явлений . 241 : 146824. doi : 10.1016/j.elspec.2019.02.003 . S2CID 104369752 .
^ Шиноцука, Х.; Танума, С.; Пауэлл, CJ; Пенн, ДР (2015). «Расчеты неупругих средних пробегов электронов. X. Данные для 41 элементарного твердого тела в диапазоне от 50 эВ до 200 кэВ с использованием релятивистского полного алгоритма Пенна» . Анализ поверхности и интерфейса . 47 (9): 871. дои : 10.1002/sia.5789 . S2CID 93935648 .
^ Танума, С.; Пауэлл, CJ; Пенн, ДР (1994). «Расчеты неупругих сред свободного пробега электронов. V. Данные для 14 органических соединений в диапазоне 50–2000 эВ» . Анализ поверхности и интерфейса . 21 (3): 165–176. дои : 10.1002/sia.740210302 .
^ Сей, член парламента (2012). «Точная и простая универсальная кривая для неупругой длины свободного пробега электронов, зависящей от энергии». Анализ поверхности и интерфейса . 44 (4): 497. дои : 10.1002/sia.4816 . S2CID 93786577 .
^ Пауэлл, CJ; Яблонски, А. (2000). «База данных NIST по электронной неупругой средней свободной траектории» . Стандартная справочная база данных NIST 71 .
^ Вернер, WSM; Смекал, В.; Пауэлл, CJ (2018). «База данных NIST для моделирования электронных спектров для анализа поверхности, версия 2.1» . НИСТ НСРДС 100 .

[Seah-1] Jump up to: ^а ^б Сих, член парламента; Денч, Вашингтон (1979), «Количественная электронная спектроскопия поверхностей: стандартная база данных для неупругих средних пробегов электронов в твердых телах», Анализ поверхности и интерфейса , 1 : 2–11, doi : 10.1002/sia.740010103

[2] Эгертон, РФ (1996) Спектроскопия потерь энергии электронов в электронном микроскопе (второе издание, Plenum Press, Нью-Йорк) ISBN 0-306-45223-5

[Werner-3] Вернер, Вольфганг С.М. (2001), «Обзор электронного транспорта в твердых телах», Анализ поверхности и интерфейса , 31 (3): 141–176, doi : 10.1002/sia.973 , S2CID 95869994

[Le,_Nguyen-Truong-4] Jump up to: ^а ^б ^с Ле, Дай-Нам; Нгуен-Труонг, Хиеу Т. (2021). «Аналитическая формула для неупругого среднего свободного пробега электронов». Журнал физической химии C. 125 (34): 18946–18951. doi : 10.1021/acs.jpcc.1c05212 . S2CID 238685492 .

[Powell-5] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л Пауэлл, Седрик Дж. (2020). «Практическое руководство по неупругой средней длине свободного пробега, эффективной длине затухания, средней глубине выхода и информационной глубине в рентгеновской фотоэлектронной спектроскопии». Журнал вакуумной науки и технологий А. 38 (23209).

[Penn-6] Пенн, ДР (1987). «Расчеты средней длины свободного пробега электронов с использованием модельной диэлектрической функции». Физ. Преподобный Б. 35 (482): 482–486. Бибкод : 1987PhRvB..35..482P . дои : 10.1103/PhysRevB.35.482 . ПМИД 9941428 .

[7] Пауэлл, CJ; Яблонски, А. (1999). «Оценка расчетных и измеренных средних неупругих пробегов электронов вблизи твердых поверхностей». Дж. Физ. хим. Ссылка. Данные . 28 (1): 19–28. Бибкод : 1999JPCRD..28...19P . дои : 10.1063/1.556035 .

[8] Якубовский, Константин; Мицуиси, Казутака; Накаяма, Ёсико; Фуруя, Кадзуо (2008). «Средняя длина свободного пробега неупругого рассеяния электронов в элементарных твердых телах и оксидах с использованием просвечивающей электронной микроскопии: колебательное поведение, зависящее от атомного номера» . Физический обзор B . 77 (10): 104102. Бибкод : 2008PhRvB..77j4102I . дои : 10.1103/PhysRevB.77.104102 .

[9] Ридзель, Ольга Юрьевна; Астасаускас, Витаутас; Вернер, Вольфганг С.М. (2020). «Значения неупругой длины свободного пробега низкоэнергетических электронов, определенные на основе анализа выходов вторичных электронов в диапазоне падающих энергий 0,1–10 кэВ» . Журнал электронной спектроскопии и связанных с ней явлений . 241 : 146824. doi : 10.1016/j.elspec.2019.02.003 . S2CID 104369752 .

[10] Шиноцука, Х.; Танума, С.; Пауэлл, CJ; Пенн, ДР (2015). «Расчеты неупругих средних пробегов электронов. X. Данные для 41 элементарного твердого тела в диапазоне от 50 эВ до 200 кэВ с использованием релятивистского полного алгоритма Пенна» . Анализ поверхности и интерфейса . 47 (9): 871. дои : 10.1002/sia.5789 . S2CID 93935648 .

[11] Танума, С.; Пауэлл, CJ; Пенн, ДР (1994). «Расчеты неупругих сред свободного пробега электронов. V. Данные для 14 органических соединений в диапазоне 50–2000 эВ» . Анализ поверхности и интерфейса . 21 (3): 165–176. дои : 10.1002/sia.740210302 .

[12] Сей, член парламента (2012). «Точная и простая универсальная кривая для неупругой длины свободного пробега электронов, зависящей от энергии». Анализ поверхности и интерфейса . 44 (4): 497. дои : 10.1002/sia.4816 . S2CID 93786577 .

[13] Пауэлл, CJ; Яблонски, А. (2000). «База данных NIST по электронной неупругой средней свободной траектории» . Стандартная справочная база данных NIST 71 .

[14] Вернер, WSM; Смекал, В.; Пауэлл, CJ (2018). «База данных NIST для моделирования электронных спектров для анализа поверхности, версия 2.1» . НИСТ НСРДС 100 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]