собственный момент

Собственные моменты ^[1] представляет собой набор ортогональных , устойчивых к шуму, инвариантных к вращению, масштабированию, перемещению и чувствительным к распределению моментов . Их применение можно найти в обработке сигналов и компьютерном зрении в качестве дескрипторов сигнала или изображения. Дескрипторы позже можно использовать для целей классификации .

Оно получается путем ортогонализации посредством анализа собственных геометрических моментов . ^[2]

Краткое изложение структуры

Собственные моменты вычисляются путем выполнения собственного анализа в пространстве моментов изображения путем максимизации отношения сигнал/шум в пространстве признаков в форме коэффициента Рэлея .

Этот подход имеет несколько преимуществ в приложениях обработки изображений:

Зависимость моментов в моментном пространстве от распределения преобразуемых изображений обеспечивает декорреляцию конечного пространства признаков после анализа собственных значений на моментном пространстве.
Способность EigenMoments учитывать распространение изображения делает его более универсальным и адаптируемым под разные жанры.
Сгенерированные ядра моментов ортогональны, и поэтому анализ моментного пространства становится проще. Преобразование с ортогональными моментными ядрами в моментное пространство аналогично проецированию изображения на несколько ортогональных осей.
Нусий компоненты можно удалить. Это делает EigenMoments надежным для приложений классификации.
Можно получить оптимальное уплотнение информации, и поэтому для характеристики изображений требуется несколько моментов.

Формулировка задачи

Предположим, что вектор сигнала $s\in {\mathcal {R}}^{n}$ берется из определенного распределения, имеющего корреляцию $C\in {\mathcal {R}}^{n\times n}$ , то есть $C=E[ss^{T}]$ где E[.] обозначает ожидаемое значение.

Размерность пространства сигналов n часто слишком велика, чтобы быть полезной для практического применения, такого как классификация шаблонов. Нам необходимо преобразовать пространство сигналов в пространство с меньшей размерностью.

Это осуществляется двухэтапным линейным преобразованием:

$q=W^{T}X^{T}s,$

где $q=[q_{1},...,q_{n}]^{T}\in {\mathcal {R}}^{k}$ преобразованный сигнал, $X=[x_{1},...,x_{n}]^{T}\in {\mathcal {R}}^{n\times m}$ фиксированная матрица преобразования, которая преобразует сигнал в пространство моментов, и $W=[w_{1},...,w_{n}]^{T}\in {\mathcal {R}}^{m\times k}$ матрица преобразования, которую мы собираемся определить путем максимизации SNR пространства признаков, находящегося в $q$ . В случае геометрических моментов X будет мономом. Если $m=k=n$ , результатом будет преобразование полного ранга, однако обычно мы имеем $m\leq n$ и $k\leq m$ . Это особенно актуально, когда $n$ имеет большие размеры.

Нахождение $W$ это максимизирует SNR пространства признаков:

$SNR_{transform}={\frac {w^{T}X^{T}CXw}{w^{T}X^{T}NXw}},$

где N – корреляционная матрица шумового сигнала. Таким образом, проблему можно сформулировать как

${w_{1},...,w_{k}}=argmax_{w}{\frac {w^{T}X^{T}CXw}{w^{T}X^{T}NXw}}$

с учетом ограничений:

$w_{i}^{T}X^{T}NXw_{j}=\delta _{ij},$ где $\delta _{ij}$ это дельта Кронекера .

Можно заметить, что эта максимизация представляет собой фактор Рэлея, если позволить $A=X^{T}CX$ и $B=X^{T}NX$ и поэтому может быть записано как:

${w_{1},...,w_{k}}={\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}{\frac {w^{T}Aw}{w^{T}Bw}}$ , $w_{i}^{T}Bw_{j}=\delta _{ij}$

коэффициент Рэлея

Оптимизация коэффициента Рэлея ^[3]^[4] имеет форму:

$\max _{w}R(w)=\max _{w}{\frac {w^{T}Aw}{w^{T}Bw}}$

и $A$ и $B$ , оба симметричны и $B$ положительно определена и, следовательно, обратима .Масштабирование $w$ не меняет значение объектной функции и, следовательно, дополнительного скалярного ограничения $w^{T}Bw=1$ может быть наложен на $w$ и ни одно решение не будет потеряно при оптимизации целевой функции.

Эту проблему оптимизации ограничений можно решить с помощью множителя Лагранжа :

$\max _{w}{w^{T}Aw}$ при условии ${w^{T}Bw}=1$

$\max _{w}{\mathcal {L}}(w)=\max _{w}(w{T}Aw-\lambda w^{T}Bw)$

приравнивая первую производную нулю, мы будем иметь:

$Aw=\lambda Bw$

что является примером обобщенной проблемы собственных значений (GEP).ГЭП имеет вид:

$Aw=\lambda Bw$

для любой пары $(w,\lambda )$ это решение приведенного выше уравнения, $w$ называется обобщенным собственным вектором и $\lambda$ называется обобщенным собственным значением .

Нахождение $w$ и $\lambda$ то, что удовлетворяет этим уравнениям, даст результат, который оптимизирует коэффициент Рэлея .

Одним из способов максимизации коэффициента Рэлея является решение обобщенной проблемы собственных чисел . Уменьшение размеров можно выполнить, просто выбрав первые компоненты. $w_{i}$ , $i=1,...,k$ , с самыми высокими значениями для $R(w)$ из $m$ компоненты, а остальные выбросьте. Интерпретация этого преобразования заключается в повороте и масштабировании моментного пространства, преобразовании его в пространство признаков с максимальным ОСШ и, следовательно, первым $k$ компоненты — это компоненты с самым высоким $k$ Значения ОСШ .

Другой способ взглянуть на это решение — использовать концепцию одновременной диагонализации вместо обобщенной проблемы собственных чисел .

Одновременная диагонализация

Позволять $A=X^{T}CX$ и $B=X^{T}NX$ как упоминалось ранее. Мы можем написать $W$ как две отдельные матрицы преобразования:

$W=W_{1}W_{2}.$

$W_{1}$ можно найти, сначала диагонализовав B:

$P^{T}BP=D_{B}$ .

Где $D_{B}$ — диагональная матрица, отсортированная в порядке возрастания. С $B$ положительно определен, поэтому $D_{B}>0$ . Мы можем отбросить те собственные значения , которые большие, и сохранить те, которые близки к 0, поскольку это означает, что энергия шума в этом пространстве близка к 0. На этом этапе также можно отбросить те собственные векторы , которые имеют большие собственные значения .

Позволять ${\hat {P}}$ будь первым $k$ столбцы $P$ , сейчас ${\hat {P^{T}}}B{\hat {P}}={\hat {D_{B}}}$ где ${\hat {D_{B}}}$ это $k\times k$ главная подматрица $D_{B}$ .

Позволять

$W_{1}={\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2}$

и следовательно:

$W_{1}^{T}BW_{1}=({\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2})^{T}B({\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2})=I$ .

$W_{1}$ отбеливать $B$ и уменьшает размерность с $m$ к $k$ . Преобразованное пространство занимало $q'=W_{1}^{T}X^{T}s$ называется шумовым пространством.

Затем диагонализуем $W_{1}^{T}AW_{1}$ :

$W_{2}^{T}W_{1}^{T}AW_{1}W_{2}=D_{A}$ ,

где $W_{2}^{T}W_{2}=I$ . $D_{A}$ – матрица с собственными значениями $W_{1}^{T}AW_{1}$ на его диагонали. Мы можем сохранить все собственные значения и соответствующие им собственные векторы, поскольку большая часть шума уже отброшена на предыдущем шаге.

Наконец, преобразование определяется следующим образом:

$W=W_{1}W_{2}$

где $W$ диагонализует как числитель, так и знаменатель SNR ,

$W^{T}AW=D_{A}$ , $W^{T}BW=I$ и преобразование сигнала $s$ определяется как $q=W^{T}X^{T}s=W_{2}^{T}W_{1}^{T}X^{T}s$ .

Потеря информации

Чтобы найти потерю информации, когда мы отбрасываем некоторые собственные значения и собственные векторы, мы можем выполнить следующий анализ:

${\begin{array}{lll}\eta &=&1-{\frac {trace(W_{1}^{T}AW_{1})}{trace(D_{B}^{-1/2}P^{T}APD_{B}^{-1/2})}}\\&=&1-{\frac {trace({\hat {D_{B}}}^{-1/2}{\hat {P}}^{T}A{\hat {P}}{\hat {D_{B}}}^{-1/2})}{trace(D_{B}^{-1/2}P^{T}APD_{B}^{-1/2})}}\end{array}}$

собственный момент

Собственные моменты получаются путем применения описанной выше схемы к геометрическим моментам. Их можно получить как для 1D, так и для 2D сигналов.

1D-сигнал

Если мы позволим $X=[1,x,x^{2},...,x^{m-1}]$ , т.е. мономы , после преобразования $X^{T}$ получаем геометрические моменты, обозначаемые вектором $M$ , сигнала $s=[s(x)]$ , то есть $M=X^{T}s$ .

На практике оценить корреляционный сигнал сложно из-за недостаточного количества выборок, поэтому используются параметрические подходы.

Одну такую модель можно определить как:

$r(x_{1},x_{2})=r(0,0)e^{-c(x_{1}-x_{2})^{2}}$ ,

где $r(0,0)=E[tr(ss^{T})]$ . Эту модель корреляции можно заменить другими моделями, однако эта модель охватывает общие природные изображения.

С $r(0,0)$ не влияет на максимизацию, его можно удалить.

$A=X^{T}CX=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}[x_{1}^{j}x_{2}^{i}e^{-c(x_{1}-x_{2})^{2}}]_{i,j=0}^{i,j=m-1}dx_{1}dx_{2}$

Корреляцию шума можно смоделировать как $\sigma _{n}^{2}\delta (x_{1},x_{2})$ , где $\sigma _{n}^{2}$ – энергия шума. Снова $\sigma _{n}^{2}$ можно отбросить, поскольку константа не оказывает никакого влияния на задачу максимизации.

$B=X^{T}NX=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}[x_{1}^{j}x_{2}^{i}\delta (x_{1},x_{2})]_{i,j=0}^{i,j=m-1}dx_{1}dx_{2}$ $B=X^{T}NX=\int _{-1}^{1}[x_{1}^{j+i}]_{i,j=0}^{i,j=m-1}dx_{1}=X^{T}X$

Используя вычисленные значения A и B и применяя алгоритм, обсуждавшийся в предыдущем разделе, мы находим $W$ и множество преобразованных мономов $\Phi =[\phi _{1},...,\phi _{k}]=XW$ который производит моментные ядра EM. Моментные ядра ЭМ декоррелируют корреляцию на изображении.

$\Phi ^{T}C\Phi =(XW)^{T}C(XW)=D_{C}$ ,

и ортогональны:

${\begin{array}{lll}\Phi ^{T}\Phi &=&(XW)^{T}(XW)\\&=&W^{T}X^{T}X\\&=&W^{T}X^{T}NXW\\&=&W^{T}BW\\&=&I\\\end{array}}$

Пример расчета

принимая $c=0.5$ , размерность моментного пространства как $m=6$ и размерность пространства признаков как $k=4$ , у нас будет:

$W=\left({\begin{array}{cccc}0.0&0&-0.7745&-0.8960\\2.8669&-4.4622&0.0&0.0\\0.0&0.0&7.9272&2.4523\\-4.0225&20.6505&0.0&0.0\\0.0&0.0&-9.2789&-0.1239\\-0.5092&-18.4582&0.0&0.0\end{array}}\right)$

и

${\begin{array}{lll}\phi _{1}&=&2.8669x-4.0225x^{3}-0.5092x^{5}\\\phi _{2}&=&-4.4622x+20.6505x^{3}-18.4582x^{5}\\\phi _{3}&=&-0.7745+7.9272x^{2}-9.2789x^{4}\\\phi _{4}&=&-0.8960+2.4523x^{2}-0.1239x^{4}\\\end{array}}$

2D-сигнал

Вывод для 2D-сигнала такой же, как и для 1D-сигнала, за исключением того, что обычные геометрические моменты напрямую используются для получения набора 2D-собственных моментов.

Определение геометрических моментов порядка $(p+q)$ для сигнала 2D-изображения:

$m_{pq}=\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}x^{p}y^{q}f(x,y)dxdy$ .

который можно обозначить как $M=\{m_{j,i}\}_{i,j=0}^{i,j=m-1}$ . Тогда набор 2D EigenMoments:

$\Omega =W^{T}MW$ ,

где $\Omega =\{\Omega _{j,i}\}_{i,j=0}^{i,j=k-1}$ — это матрица, содержащая набор EigenMoments.

$\Omega _{j,i}=\Sigma _{r=0}^{m-1}\Sigma _{s=0}^{m-1}w_{r,j}w_{s,i}m_{r,s}$ .

Инварианты собственного момента (EMI)

Чтобы получить набор моментных инвариантов, мы можем использовать нормированные геометрические моменты. ${\hat {M}}$ вместо $M$ .

Нормализованные геометрические моменты инвариантны к вращению, масштабированию и преобразованию и определяются следующим образом:

${\begin{array}{lll}{\hat {m}}_{pq}&=&\alpha ^{p}+q+2\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}[(x-x^{c})cos(\theta )+(y-y^{c})sin(\theta )]^{p}\\&=&\times [-(x-x^{c})sin(\theta )+(y-y^{c})cos(\theta )]^{q}\\&=&\times f(x,y)dxdy,\\\end{array}}$

где: $(x^{c},y^{c})=(m_{10}/m_{00},m_{01}/m_{00})$ это центр тяжести изображения $f(x,y)$ и

${\begin{array}{lll}\alpha &=&[m_{00}^{S}/m_{00}]^{1/2}\\\theta &=&{\frac {1}{2}}tan^{-1}{\frac {2m_{11}}{m_{20}-m_{02}}}\end{array}}$ .

$m_{00}^{S}$ в этом уравнении является коэффициентом масштабирования, зависящим от изображения. $m_{00}^{S}$ обычно устанавливается равным 1 для двоичных изображений.

См. также

Ссылки

^ Пью-Тиан Яп, Равендран Парамесран, Собственные моменты, Распознавание образов, Том 40, Выпуск 4, апрель 2007 г., страницы 1234-1244, ISSN 0031-3203, 10.1016/j.patcog.2006.07.003.
^ МК Ху, «Визуальное распознавание образов по моментным инвариантам», IRE Trans. Информация. Теория, том. ИТ-8, стр. 179–187, 1962 г.
^ Т. Де Би, Н. Кристианини, Р. Розипал, Собственные проблемы вРаспознавание образов, в: Э. Байро-Коррочано (ред.), Справочник поВычислительная геометрия для распознавания образов, компьютерного зрения,Нейрокомпьютеры и робототехника, Springer, Гейдельберг, 2004G.
^ Стрэнг, Линейная алгебра и ее приложения, второе изд., АкадемическийПресс, Нью-Йорк, 1980.

Внешние ссылки

реализация EigenMoments в Matlab

[1] Пью-Тиан Яп, Равендран Парамесран, Собственные моменты, Распознавание образов, Том 40, Выпуск 4, апрель 2007 г., страницы 1234-1244, ISSN 0031-3203, 10.1016/j.patcog.2006.07.003.

[“hu-2] МК Ху, «Визуальное распознавание образов по моментным инвариантам», IRE Trans. Информация. Теория, том. ИТ-8, стр. 179–187, 1962 г.

[3] Т. Де Би, Н. Кристианини, Р. Розипал, Собственные проблемы вРаспознавание образов, в: Э. Байро-Коррочано (ред.), Справочник поВычислительная геометрия для распознавания образов, компьютерного зрения,Нейрокомпьютеры и робототехника, Springer, Гейдельберг, 2004G.

[4] Стрэнг, Линейная алгебра и ее приложения, второе изд., АкадемическийПресс, Нью-Йорк, 1980.

[1]

[2]

[3]

[4]