Полиномы Стилтьеса – Вигерта

В математике полиномы Стилтьеса-Вигерта (названные в честь Томаса Яна Стилтьеса и Карла Северина Вигерта ) представляют собой семейство основных гипергеометрических ортогональных полиномов в базовой схеме Аски для весовой функции. ^{[ 1 ]}

w(x)={\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp(-k^{2}\log ^{2}x)

на положительной действительной линии x > 0.

Проблема моментов для полиномов Стилтьеса – Вигерта неопределенна; другими словами, существует множество других мер, дающих то же самое семейство ортогональных многочленов (см. условие Крейна ).

Кукук и др. (2010) приводят в разделе 14.27 подробный список свойств этих многочленов.

Определение

Полиномы задаются через основные гипергеометрические функции и символ Похгаммера следующим образом: ^{[ 2 ]}

\displaystyle S_{n}(x;q)={\frac {1}{(q;q)_{n}}}{}_{1}\phi _{1}(q^{-n},0;q,-q^{n+1}x),

где

q=\exp \left(-{\frac {1}{2k^{2}}}\right).

Ортогональность

Поскольку проблема моментов для этих многочленов неопределенна, существует множество различных весовых функций на [0, ∞], для которых они ортогональны. Два примера таких весовых функций:

{\frac {1}{(-x,-qx^{-1};q)_{\infty }}}

и

{\frac {k}{\sqrt {\pi }}}x^{-1/2}\exp \left(-k^{2}\log ^{2}x\right).

Примечания

^ С точностью до постоянного множителя это w ( q ^−1/2x ) для весовой функции w в Сеге (1975), раздел 2.7. См. также Koornwinder et al. (2010), раздел 18.27(vi).
^ С точностью до постоянного множителя S _n ( x ; q )= p _n ( q ^−1/2x ) для p _n ( x ) в Сеге (1975), раздел 2.7.

Ссылки

Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004), Основные гипергеометрические серии , Энциклопедия математики и ее приложений, том. 96 (2-е изд.), Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-83357-8 , МР 2128719
Кукук, Рулоф; Лески, Питер А.; Свартау, Рене Ф. (2010), Гипергеометрические ортогональные полиномы и их q-аналоги , Монографии Springer по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-05014-5 , ISBN 978-3-642-05013-8 , МР 2656096
Коорнвиндер, Том Х.; Вонг, Родерик СК; Кукук, Рулоф; Свартау, Рене Ф. (2010), «Глава 18, Ортогональные полиномы» , в Олвере, Фрэнке В.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5 , МР 2723248 .
Сегё, Габор (1975), Ортогональные полиномы , Публикации коллоквиума 23, Американское математическое общество, четвертое издание, ISBN 978-0-8218-1023-1 , МР 0372517
Стилтьес, Т.-Дж. (1894), «Исследование цепных дробей» , Ann. Фак. наук. Тулуза (на французском языке), VIII (4): 1–122, doi : 10.5802/afst.108 , JFM 25.0326.01 , MR 1344720
Ван, Сян-Шэн; Вонг, Родерик (2010). «Равномерная асимптотика некоторых q-ортогональных многочленов». Дж. Математика. Анальный. Приложение . 364 (1): 79–87. дои : 10.1016/j.jmaa.2009.10.038 .
Вигерт, С. (1923), «Sur les ортогональные полиномы и l'аппроксимация непрерывных функций», Arkiv for matematik, astronomi och fysik (на французском языке), 17 : 1–15, JFM 49.0296.01

[1] С точностью до постоянного множителя это w ( q ^−1/2x ) для весовой функции w в Сеге (1975), раздел 2.7. См. также Koornwinder et al. (2010), раздел 18.27(vi).

[2] С точностью до постоянного множителя S _n ( x ; q )= p _n ( q ^−1/2x ) для p _n ( x ) в Сеге (1975), раздел 2.7.

[ 1 ]

[ 2 ]