Монус

В математике monus — это оператор над некоторыми коммутативными моноидами , которые не являются группами . Коммутативный моноид, на котором определен оператор monus, называется коммутативным моноидом с monus или CMM . Оператор монуса может быть обозначен символом – , поскольку натуральные числа представляют собой СММ при вычитании ; оно также обозначается значком $\mathop {\dot {-}}$ символ, чтобы отличить его от стандартного оператора вычитания.

Обозначения

глиф	в Юникоде Имя	Кодовая точка Юникода ^[1]	Ссылка на объект символа HTML	HTML/ XML Ссылки на числовые символы	ТеХ
∸	ТОЧКА МИНУС	U + 2238		`∸`	`\dot -`
−	ЗНАК МИНУС	U + 2212	`−`	`−`	`-`

Определение

Позволять $(M,+,0)$ быть коммутативным моноидом . Определить бинарное отношение $\leq$ на этом моноиде следующим образом: для любых двух элементов $a$ и $b$ , определять $a\leq b$ если существует элемент $c$ такой, что $a+c=b$ . Это легко проверить $\leq$ является рефлексивным ^[2] и что оно транзитивно . ^[3] $M$ называется естественно упорядоченным, если $\leq$ Отношение дополнительно антисимметрично и, следовательно, является частичным порядком . Далее, если для каждой пары элементов $a$ и $b$ , уникальный наименьший элемент $c$ существует такое, что $a\leq b+c$ , то $M$ называется коммутативным моноидом с монусом ^[4]^: 129 и Монус $a\mathop {\dot {-}} b$ любых двух элементов $a$ и $b$ может быть определен как этот уникальный наименьший элемент $c$ такой, что $a\leq b+c$ .

Пример коммутативного моноида, который не является естественным образом упорядоченным: $(\mathbb {Z} ,+,0)$ , коммутативный моноид целых чисел с обычным сложением , как и для любого $a,b\in \mathbb {Z}$ существует $c$ такой, что $a+c=b$ , так $a\leq b$ справедливо для любого $a,b\in \mathbb {Z}$ , так $\leq$ это не частичный заказ. Существуют также примеры моноидов, которые естественным образом упорядочены, но не являются полукольцами с монусом. ^[5]

Другие структуры

Помимо моноидов, понятие монода можно применить и к другим структурам. Например, естественно упорядоченное полукольцо (иногда называемое диоидом). ^[6]) — полукольцо , в котором коммутативный моноид, индуцированный оператором сложения, естественно упорядочен. Когда этот моноид является коммутативным моноидом с монусом, полукольцо называется полукольцом с монусом или m-полукольцом .

Примеры

Если $M$ — идеал в булевой алгебре , то $M$ — коммутативный моноид с монусом при $a+b=a\vee b$ и $a\mathop {\dot {-}} b=a\wedge \neg b$ . ^[4]^: 129

Натуральные числа

Натуральные числа, включая 0, образуют коммутативный моноид с монусом, причем их порядок соответствует обычному порядку натуральных чисел, а оператор монуса является насыщающим вариантом стандартного вычитания, называемого по-разному усеченным вычитанием . ^[7] ограниченное вычитание , правильное вычитание , доза ( разница или ноль ), ^[8] и монус . ^[9] Усеченное вычитание обычно определяется как ^[7]

a\mathop {\dot {-}} b={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a<b\\a-b&{\mbox{if }}a\geq b,\end{cases}}

где - обозначает стандартное вычитание . Например, 5 - 3 = 2 и 3 - 5 = -2 при обычном вычитании, тогда как при усеченном вычитании 3 ∸ 5 = 0. Усеченное вычитание также можно определить как ^[9]

a\mathop {\dot {-}} b=\max(a-b,0).

В арифметике Пеано усеченное вычитание определяется в терминах функции-предшественника $P$ (обратной функции-последователя ): ^[7]

{\begin{aligned}P(0)&=0\\P(S(a))&=a\\a\mathop {\dot {-}} 0&=a\\a\mathop {\dot {-}} S(b)&=P(a\mathop {\dot {-}} b).\end{aligned}}

Определение, которое не требует функции-предшественника:

{\begin{aligned}a\mathop {\dot {-}} 0&=a\\0\mathop {\dot {-}} b&=0\\S(a)\mathop {\dot {-}} S(b)&=a\mathop {\dot {-}} b.\end{aligned}}

Усеченное вычитание полезно в таких контекстах, как примитивно-рекурсивные функции , которые не определены для отрицательных чисел. ^[7] Усеченное вычитание также используется в определении мультимножеств оператора разности .

Характеристики

Класс всех коммутативных моноидов с монусом образует многообразие . ^[4]^: 129 Эквациональную основу разнообразия всех КИМ составляют аксиомы коммутативных моноидов , а также следующие аксиомы:

${\begin{aligned}a+(b\mathop {\dot {-}} a)&=b+(a\mathop {\dot {-}} b),\\(a\mathop {\dot {-}} b)\mathop {\dot {-}} c&=a\mathop {\dot {-}} (b+c),\\(a\mathop {\dot {-}} a)&=0,\\(0\mathop {\dot {-}} a)&=0.\\\end{aligned}}$

Примечания

^ Символы в Юникоде обозначаются в прозе через обозначение «U+». Шестнадцатеричное число после «U+» — это кодовая точка символа в Юникоде.
^ принимая $c$ быть нейтральным элементом моноида
^ если $a\leq b$ со свидетелем $d$ и $b\leq c$ со свидетелем $d'$ затем $d+d'$ свидетели того, что $a\leq c$
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Амер, К. (1984), «Эквационально полные классы коммутативных моноидов с монусом», Algebra Universalis , 18 : 129–131, doi : 10.1007/BF01182254
^ М.Моне (14 октября 2016 г.). «Пример естественно упорядоченного полукольца, не являющегося m-полукольцом» . Математический обмен стеками . Проверено 14 октября 2016 г.
^ Полукольца на завтрак , слайд 17.
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Верещагин, Николай К.; Шен, Александр (2003). Вычислимые функции . Перевод В. Н. Дубровского. Американское математическое общество . п. 141. ИСБН 0-8218-2732-4 .
^ Уоррен младший, Генри С. (2013). Хакерское наслаждение (2-е изд.). Аддисон Уэсли - Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-84268-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Джейкобс, Барт (1996). «Коалгебраические спецификации и модели детерминированных гибридных систем» . В Вирсинге, Мартин; Ниват, Морис (ред.). Алгебраическая методология и технология программного обеспечения . Конспекты лекций по информатике. Том. 1101. Спрингер. п. 522. ИСБН 3-540-61463-Х .

[1] Символы в Юникоде обозначаются в прозе через обозначение «U+». Шестнадцатеричное число после «U+» — это кодовая точка символа в Юникоде.

[2] принимая $c$ быть нейтральным элементом моноида

[3] если $a\leq b$ со свидетелем $d$ и $b\leq c$ со свидетелем $d'$ затем $d+d'$ свидетели того, что $a\leq c$

[Amer-4] Перейти обратно: ^а ^б ^с Амер, К. (1984), «Эквационально полные классы коммутативных моноидов с монусом», Algebra Universalis , 18 : 129–131, doi : 10.1007/BF01182254

[5] М.Моне (14 октября 2016 г.). «Пример естественно упорядоченного полукольца, не являющегося m-полукольцом» . Математический обмен стеками . Проверено 14 октября 2016 г.

[6] Полукольца на завтрак , слайд 17.

[Computable_Functions-7] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Верещагин, Николай К.; Шен, Александр (2003). Вычислимые функции . Перевод В. Н. Дубровского. Американское математическое общество . п. 141. ИСБН 0-8218-2732-4 .

[Warren_2013-8] Уоррен младший, Генри С. (2013). Хакерское наслаждение (2-е изд.). Аддисон Уэсли - Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-84268-8 .

[Wirsing-9] Перейти обратно: ^а ^б Джейкобс, Барт (1996). «Коалгебраические спецификации и модели детерминированных гибридных систем» . В Вирсинге, Мартин; Ниват, Морис (ред.). Алгебраическая методология и технология программного обеспечения . Конспекты лекций по информатике. Том. 1101. Спрингер. п. 522. ИСБН 3-540-61463-Х .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]