Правило смесей

Верхние и нижние границы модуля упругости композиционного материала, предсказанные правилом смесей. Фактический модуль упругости находится между кривыми.

В материаловедении общее правило смесей представляет собой средневзвешенное значение, используемое для прогнозирования различных свойств композитного материала . Он обеспечивает теоретические верхние и нижние границы таких свойств, как модуль упругости , предел прочности на разрыв , теплопроводность и электропроводность . Обычно существует две модели: одна для осевой нагрузки (модель Фойгта), и один для поперечной нагрузки (модель Ройсса).

В общем, для некоторых материальных свойств $E$ (часто модуль упругости ), правило смесей гласит, что общее свойство в направлении, параллельном волокнам, может достигать

$E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}$

где

• $f={\frac {V_{f}}{V_{f}+V_{m}}}$ - объемная доля волокон
• $E_{f}$ это свойство материала волокон
• $E_{m}$ - материальное свойство матрицы

В случае модуля упругости он известен как модуль верхней границы и соответствует нагрузке параллельно волокнам. Обратное правило смесей гласит, что в направлении, перпендикулярном волокнам, модуль упругости композита может быть всего лишь

$E_{c}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}.$

Если изучаемым свойством является модуль упругости, эта величина называется модулем нижней границы и соответствует поперечной нагрузке.

Вывод модуля упругости

Модуль Фойгта

Рассмотрим композитный материал, находящийся в состоянии одноосного растяжения. $\sigma _{\infty }$. Чтобы материал остался неповрежденным, напряжение волокон, $\epsilon _{f}$ должно равняться деформации матрицы, $\epsilon _{m}$. Таким образом, закон Гука для одноосного растяжения дает

${\frac {\sigma _{f}}{E_{f}}}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}={\frac {\sigma _{m}}{E_{m}}}$ ( 1 )

где $\sigma _{f}$, $E_{f}$, $\sigma _{m}$, $E_{m}$ – напряжение и модуль упругости волокон и матрицы соответственно. Учитывая, что напряжение — это сила на единицу площади, баланс сил дает следующее:

$\sigma _{\infty }=f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}$ ( 2 )

где $f$ – объемная доля волокон в композите (и $1-f$ – объемная доля матрицы).

Если предположить, что композиционный материал ведет себя как линейно-упругий материал, т. е. соблюдая закон Гука $\sigma _{\infty }=E_{c}\epsilon _{c}$ для некоторого модуля упругости композита $E_{c}$ и некоторая деформация композита $\epsilon _{c}$, то уравнения 1 и 2 можно объединить, чтобы получить

$E_{c}\epsilon _{c}=fE_{f}\epsilon _{f}+\left(1-f\right)E_{m}\epsilon _{m}.$

Наконец, поскольку $\epsilon _{c}=\epsilon _{f}=\epsilon _{m}$общий модуль упругости композита можно выразить как

$E_{c}=fE_{f}+\left(1-f\right)E_{m}.$

Модуль Ройсса

Пусть теперь композитный материал нагружен перпендикулярно волокнам, полагая, что $\sigma _{\infty }=\sigma _{f}=\sigma _{m}$. Общая деформация в композите распределяется между материалами так, что

$\epsilon _{c}=f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}.$

Общий модуль упругости материала тогда определяется выражением

$E_{c}={\frac {\sigma _{\infty }}{\epsilon _{c}}}={\frac {\sigma _{f}}{f\epsilon _{f}+\left(1-f\right)\epsilon _{m}}}=\left({\frac {f}{E_{f}}}+{\frac {1-f}{E_{m}}}\right)^{-1}$

с $\sigma _{f}=E\epsilon _{f}$, $\sigma _{m}=E\epsilon _{m}$.

Другие объекты недвижимости

Подобные выводы дают правила смесей для

• массовая плотность : $$\rho _{c}=\rho _{f}\centerdot f+\rho _{M}\centerdot (1-f)$$ где f — атомный процент волокна в смеси.
• предел прочности на разрыв : $$\left({\frac {f}{\sigma _{UTS,f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{UTS,m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{UTS,c}\leq f\sigma _{UTS,f}+\left(1-f\right)\sigma _{UTS,m}$$
• теплопроводность : $$\left({\frac {f}{k_{f}}}+{\frac {1-f}{k_{m}}}\right)^{-1}\leq k_{c}\leq fk_{f}+\left(1-f\right)k_{m}$$
• электропроводность : $$\left({\frac {f}{\sigma _{f}}}+{\frac {1-f}{\sigma _{m}}}\right)^{-1}\leq \sigma _{c}\leq f\sigma _{f}+\left(1-f\right)\sigma _{m}$$

См. также

При рассмотрении эмпирической корреляции некоторых физических свойств и химического состава соединений другие соотношения, правила или законы также очень напоминают правило смесей:

• Закон Амагата – Закон парциальных объемов газов
• Уравнение Гладстона – Дейла - Оптический анализ жидкостей, стекол и кристаллов.
• Закон Коппа – использует массовую долю.
• Закон Коппа – Неймана – Теплоемкость сплавов
• Закон Рихмана смешивания – Закон температуры
• Закон Вегарда – Параметры кристаллической решетки

Внешние ссылки

• Калькулятор правил смесей