Метод КЛ (физика элементарных частиц)

В физике элементарных частиц CL представляет собой статистический метод установки верхних пределов (также называемых пределами исключения). модели ) параметров — особая форма интервальной оценки, используемая для параметров, которые могут принимать только неотрицательные значения. Хотя считается, что CL относятся к уровням уверенности , «название метода… вводит в заблуждение, поскольку область исключения CL не является доверительным интервалом ». Впервые он был введен физиками, работавшими над экспериментом LEP в ЦЕРН, и с тех пор использовался во многих экспериментах по физике высоких энергий . Это частотный метод в том смысле, что свойства предела определяются с помощью вероятностей ошибок , однако он отличается от стандартных доверительных интервалов тем, что установленный доверительный уровень интервала не равен вероятности его охвата . Причина этого отклонения заключается в том, что стандартные верхние пределы, основанные на наиболее мощном тесте, обязательно создают пустые интервалы с некоторой фиксированной вероятностью, когда значение параметра равно нулю, и это свойство считается нежелательным большинством физиков и статистиков.

Верхние пределы, полученные методом CL, всегда содержат нулевое значение параметра и, следовательно, вероятность покрытия в этой точке всегда равна 100%. Определение CL не следует из какой-либо точной теоретической основы статистического вывода и поэтому иногда описывается как ad hoc . Однако это очень похоже на концепции статистических данных. предложен статистиком Алланом Бирнбаумом .

Определение

Пусть X — случайная выборка из распределения вероятностей с действительным неотрицательным параметром. $\theta \in [0,\infty )$. Верхний предел CL с для параметра θ уровнем достоверности $1-\alpha '$, является статистикой (т. е. наблюдаемой случайной величиной ) $\theta _{up}(X)$ который имеет свойство:

${\frac {\mathbb {P} (\theta _{up}(X)<\theta |\theta )}{\mathbb {P} (\theta _{up}(X)<\theta |0)}}\leq \alpha '{\text{ for all }}\theta .$ ( 1 )

Неравенство используется в определении для учета случаев, когда распределение X дискретно и равенство не может быть достигнуто точно. Если распределение X непрерывно , то это следует заменить равенством. Обратите внимание, что из определения следует, что вероятность покрытия $\mathbb {P} (\theta _{up}(X)\geq \theta |\theta )$ всегда больше, чем $1-\alpha '$.

Эквивалентное определение можно дать, рассмотрев проверку нулевой гипотезы. $H_{0}:\theta =\theta _{0}$ против альтернативы $H_{1}:\theta =0$. Тогда числитель в ( 1 ), при оценке в $\theta _{0}$, соответствуют вероятности ошибки I рода ( $\alpha$) теста (т.е. $\theta _{0}$ отклоняется, когда $\theta _{up}(X)<\theta _{0}$) и знаменатель в степени ( $1-\beta$). Критерий отказа $H_{0}$ таким образом, требуется, чтобы соотношение $\alpha /(1-\beta )$ будет меньше, чем $\alpha '$. Интуитивно это можно интерпретировать как утверждение, что $\theta _{0}$ исключено, поскольку это $\alpha '$ менее вероятно наблюдать такой экстремальный результат, как X , когда $\theta _{0}$ верно, чем когда альтернатива $\theta =0$ это правда.

Расчет верхнего предела обычно выполняется путем построения тестовой статистики. $q_{\theta }(X)$ и найти значение $\theta$ для чего

${\frac {\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q_{\theta }(X)\geq q_{\theta }^{*}|0)}}=\alpha '.$

где $q_{\theta }^{*}$ наблюдаемый результат эксперимента.

Использование в физике высоких энергий

Верхние пределы, основанные на методе CL, использовались в многочисленных публикациях экспериментальных результатов, полученных в экспериментах на ускорителях частиц, таких как LEP , Tevatron и LHC , наиболее заметных в поисках новых частиц.

Источник

Первоначальная мотивация CL была основана на расчете условной вероятности, предложенном физиком Г. Цехом. для эксперимента по подсчету событий. Предположим, эксперимент состоит из измерения $n$ события, исходящие от сигнальных и фоновых процессов, описываемых распределениями Пуассона с соответствующими скоростями $s$ и $b$, а именно $n\sim {\text{Poiss}}(s+b)$. $b$ предполагается известным и $s$ – параметр, который необходимо оценить с помощью эксперимента. Стандартная процедура установки верхнего предела $s$ учитывая экспериментальный результат $n^{*}$ состоит из исключения значений $s$ для чего $\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)\leq \alpha$, что гарантирует как минимум $1-\alpha$ покрытие. Рассмотрим, например, случай, когда $b=3$ и $n^{*}=0$ события наблюдаются, то обнаруживается, что $s+b\geq 3$ исключается на уровне достоверности 95%. Но это подразумевает, что $s\geq 0$ исключается, а именно все возможные значения $s$. Такой результат трудно интерпретировать, поскольку эксперимент по существу не может различить очень малые значения $s$ из гипотезы только фона, и поэтому заявление об исключении таких малых значений (в пользу гипотезы только фона) кажется неуместным. Чтобы преодолеть эту трудность, Зех предложил обусловить вероятность того, что $n\leq n^{*}$ на замечании, что $n_{b}\leq n^{*}$, где $n_{b}$ — это (неизмеримое) количество фоновых событий. Причиной этого является то, что когда $n_{b}$ мала, процедура с большей вероятностью выдаст ошибку (т. е. интервал, не охватывающий истинное значение), чем когда $n_{b}$ велико, а распределение $n_{b}$ сам по себе независим от $s$. То есть следует сообщать не общую вероятность ошибки, а условную вероятность с учетом имеющихся знаний о количестве фоновых событий в выборке. Эта условная вероятность

$\mathbb {P} (n\leq n^{*}|n_{b}\leq n^{*},s+b)={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*},n_{b}\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n_{b}\leq n^{*}|s+b)}}={\frac {\mathbb {P} (n\leq n^{*}|s+b)}{\mathbb {P} (n\leq n^{*}|b)}}.$

которые соответствуют приведенному выше определению CL. Первое равенство просто использует определение условной вероятности , а второе равенство исходит из того факта, что если $n\leq n^{*}\Rightarrow n_{b}\leq n^{*}$ а количество фоновых событий по определению не зависит от мощности сигнала.

Обобщение условного аргумента

Условный аргумент Зеха можно формально распространить на общий случай. Предположим, что $q(X)$ — это тестовая статистика , из которой выводится доверительный интервал, и пусть

$p_{\theta }=\mathbb {P} (q(X)>q^{*}|\theta )$

где $q*$ результат, наблюдаемый в эксперименте. Затем $p_{\theta }$ можно рассматривать как неизмеримую (поскольку $\theta$ неизвестно) случайная величина, распределение которой равномерно между 0 и 1 независимо от $\theta$. Если тест беспристрастный, то результат $q*$ подразумевает

$p_{\theta }\leq \mathbb {P} (q(X)>q^{*}|0)\equiv p_{0}^{*}$

откуда, аналогично обуславливанию $n_{b}$ в предыдущем случае получается

$\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|p_{\theta }\leq p_{0}^{*},\theta )={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (p_{\theta }\leq p_{0}^{*}|\theta )}}={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{p_{0}^{*}}}={\frac {\mathbb {P} (q(X)\geq q^{*}|\theta )}{\mathbb {P} (q(X)>q^{*}|0)}}.$

Отношение к основополагающим принципам

Приведенные выше аргументы можно рассматривать как следующие духу принципа обусловленности статистического вывода, хотя они выражают более обобщенное понятие обусловленности, которое не требует существования вспомогательной статистики . Однако принцип обусловленности , уже в своей первоначальной, более ограниченной версии, формально подразумевает принцип правдоподобия — результат, который, как известно, продемонстрировал Бирнбаум . CL не подчиняется принципу правдоподобия , и поэтому такие соображения могут использоваться только для предположения правдоподобия, но не теоретической полноты с фундаментальной точки зрения. (Однако то же самое можно сказать и о любом частотном методе, если принцип обусловленности считается необходимым).

Сам Бирнбаум в своей статье 1962 года предположил, что соотношение CLs $\alpha /(1-\beta )$ следует использовать в качестве меры силы статистических данных, полученных с помощью тестов значимости, а не $\alpha$ один. Это следует из простого применения принципа правдоподобия : если результат эксперимента должен быть сообщен только в форме решения «принять»/«отклонить», то вся процедура эквивалентна эксперименту, в котором есть только два возможных решения. результаты, с вероятностями $\alpha$, $(1-\beta )$ и $1-\alpha$, $(\beta )$ под $H_{1},(H_{2})$. Отношение правдоподобия, связанное с результатом «отклонить $H_{1}$"поэтому $\alpha /(1-\beta )$ и, следовательно, должен определить доказательную интерпретацию этого результата. (Поскольку для проверки двух простых гипотез отношение правдоподобия является компактным представлением функции правдоподобия ). С другой стороны, если принципу правдоподобия следует следовать последовательно, то следует использовать отношение правдоподобия исходного результата, а не $\alpha /(1-\beta )$, что делает основание такой интерпретации сомнительным. Позже Бирнбаум описал это как имеющее «в лучшем случае эвристическое, но не существенное значение для интерпретации доказательств».

Более прямой подход, ведущий к аналогичному выводу, можно найти в формулировке Бирнбаума принципа уверенности , который, в отличие от более распространенной версии, относится к вероятностям ошибок обоих видов. Об этом говорится следующим образом:

«Концепция статистических данных неправдоподобна, если она не содержит «веских доказательств того, что $H_{2}$ в отличие от $H_{1}$'с небольшой вероятностью $(\alpha )$ когда $H_{1}$ верно, и с гораздо большей вероятностью $\ (1-\beta )\$ когда $H_{2}$ это правда».

Такое определение уверенности, естественно, может показаться удовлетворительным при определении CL. Остается верным, чтои эта, и более распространенные (связанные с теорией Неймана - Пирсона ) версии принципа уверенности несовместимы с принципом правдоподобия, и поэтому ни один частотный метод не может рассматриваться как действительно полное решение проблем, возникающих при рассмотрении условных свойств доверительные интервалы.

Расчет в пределе большой выборки

Если соблюдены определенные условия регулярности, то общая функция правдоподобия станет функцией Гаусса в пределе большой выборки. В таком случае верхний предел CL на доверительном уровне $1-\alpha '$ (полученный из наиболее мощного теста ) определяется выражением

$\theta _{up}={\hat {\theta }}+\sigma \Phi ^{-1}(1-\alpha '\Phi ({\hat {\theta }}/\sigma )),$

где $\Phi$ — стандартное нормальное кумулятивное распределение , ${\hat {\theta }}$ это максимального правдоподобия оценка $\theta$ и $\sigma$ — его стандартное отклонение ; последнее можно оценить, используя обратную информационную матрицу Фишера или используя метод «Азимова». набор данных. Этот результат оказывается эквивалентным байесовскому доверительному интервалу , если однородный априорный интервал для $\theta$ используется.

Дальнейшее чтение

• Леон Джей Глесер (2002). «[Установка доверительных интервалов для ограниченных параметров]: комментарий» . Статистическая наука . 17 (2): 161–163. дои : 10.1214/ss/1030550859 . JSTOR   3182818 .
• Фрейзер, DAS; Рид Н.; Вонг, ACM (2004). «Вывод для ограниченных параметров». Физ. Преподобный Д. 69 (3): 033002. arXiv : физика/0303111 . дои : 10.1103/PhysRevD.69.033002 . S2CID   18947032 .
• Роберт Д. Казинс (2011). «Отрицательно смещенные соответствующие подмножества, вызванные наиболее мощными односторонними верхними доверительными пределами для ограниченного физического параметра». arXiv : 1109.2023 [ physical.data-an ].

Внешние ссылки

• Обзор статистических методов Группы данных о частицах (PDG)