Расширение Зоммерфельда

— Разложение Зоммерфельда метод аппроксимации, разработанный Арнольдом Зоммерфельдом для определенного класса интегралов , распространенных в конденсированной среде и статистической физике . Физически интегралы представляют собой статистические средние значения с использованием распределения Ферми – Дирака .

Когда обратная температура $\beta$ это большая величина, интеграл можно разложить с точки зрения $\beta$ как

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6}}\left({\frac {1}{\beta }}\right)^{2}H^{\prime }(\mu )+O\left({\frac {1}{\beta \mu }}\right)^{4}$

где $H^{\prime }(\mu )$ используется для обозначения производной $H(\varepsilon )$ оценивается в $\varepsilon =\mu$ и где $O(x^{n})$ обозначение относится к ограничению поведения порядка $x^{n}$. Расширение допустимо только в том случае, если $H(\varepsilon )$ исчезает как $\varepsilon \rightarrow -\infty$ и идет не быстрее, чем полиномиально по $\varepsilon$ как $\varepsilon \rightarrow \infty$.Если интеграл от нуля до бесконечности, то интеграл в первом члене разложения равен от нуля до бесконечности. $\mu$ а второй член не изменяется.

Приложение к модели свободных электронов

Интегралы этого типа часто появляются при расчете электронных свойств, таких как теплоемкость , в модели твердых тел со свободными электронами . В этих расчетах приведенный выше интеграл выражает ожидаемое значение величины $H(\varepsilon )$. Для этих интегралов мы можем затем определить $\beta$ как обратная температура и $\mu$ как химический потенциал . Следовательно, разложение Зоммерфельда справедливо для больших $\beta$ (низкотемпературные ) системы.

Вывод во второй порядок по температуре

Мы ищем расширение второго порядка по температуре, т. е. $\tau ^{2}$, где $\beta ^{-1}=\tau =k_{B}T$ является произведением температуры и постоянной Больцмана . Начните с изменения переменных на $\tau x=\varepsilon -\mu$:

$I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\tau \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,,$

Разделите диапазон интеграции, $I=I_{1}+I_{2}$, и переписать $I_{1}$ используя замену переменных $x\rightarrow -x$:

$I=\underbrace {\tau \int _{-\infty }^{0}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{1}}+\underbrace {\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{2}}\,.$

$I_{1}=\tau \int _{-\infty }^{0}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{-x}+1}}\,\mathrm {d} x\,$

Затем примените алгебраический «трюк» со знаменателем $I_{1}$,

${\frac {1}{e^{-x}+1}}=1-{\frac {1}{e^{x}+1}}\,,$

чтобы получить:

$I_{1}=\tau \int _{0}^{\infty }H(\mu -\tau x)\,\mathrm {d} x-\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,$

Вернитесь к исходным переменным с помощью $-\tau \mathrm {d} x=\mathrm {d} \varepsilon$ в первый срок $I_{1}$. Объединить $I=I_{1}+I_{2}$ чтобы получить:

$I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,$

Числитель второго члена может быть выражен как приближение к первой производной при условии, что $\tau$ достаточно мал и $H(\varepsilon )$ достаточно гладкая:

$\Delta H=H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)\approx 2\tau xH'(\mu )+\cdots \,,$

чтобы получить,

$I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +2\tau ^{2}H'(\mu )\int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}\,$

Определенный интеграл известен быть:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}$.

Следовательно,

$I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon \approx \int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +{\frac {\pi ^{2}}{6\beta ^{2}}}H'(\mu )\,$

Члены высшего порядка и производящая функция

Мы можем получить члены более высокого порядка в разложении Зоммерфельда, используя производящая функция для моментов распределения Ферми. Это дано

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}e^{\tau \epsilon /2\pi }\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{\tau }}\left\{{\frac {({\frac {\tau T}{2}})}{\sin({\frac {\tau T}{2}})}}e^{\tau \mu /2\pi }-1\right\},\quad 0<\tau T/2\pi <1.$

Здесь $k_{\rm {B}}T=\beta ^{-1}$ и ступенчатая функция Хевисайда $-\theta (-\epsilon )$ вычитает расходящийся вклад нулевой температуры.Расширение полномочий $\tau$ дает, например

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}=\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right),$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}+{\frac {T^{2}}{4!}},$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{2}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{3!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{3}+\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right){\frac {T^{2}}{4!}},$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{3}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{4!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{4}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}},$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{4!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{4}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{5!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{5}+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{3}{\frac {T^{2}}{4!}}+\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right){\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}},$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}{\frac {1}{5!}}\left({\frac {\epsilon }{2\pi }}\right)^{5}\left\{{\frac {1}{1+e^{\beta (\epsilon -\mu )}}}-\theta (-\epsilon )\right\}={\frac {1}{6!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{6}+{\frac {1}{4!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{4}{\frac {T^{2}}{4!}}+{\frac {1}{2!}}\left({\frac {\mu }{2\pi }}\right)^{2}{\frac {7}{8}}{\frac {T^{4}}{6!}}+{\frac {31}{24}}{\frac {T^{6}}{8!}}.$

Аналогичная производящая функция для нечетных моментов функции Бозе:

$\int _{0}^{\infty }{\frac {d\epsilon }{2\pi }}\sinh(\epsilon \tau /\pi ){\frac {1}{e^{\beta \epsilon }-1}}={\frac {1}{4\tau }}\left\{1-{\frac {\tau T}{\tan \tau T}}\right\},\quad 0<\tau T<\pi .$

Ссылки

• Зоммерфельд, А. (1928). «К электронной теории металлов на основе статистики Ферми». Журнал физики . 47 (1–2): 1–3. Бибкод : 1928ZPhy...47....1S . дои : 10.1007/BF01391052 . S2CID   116911592 .
• Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Томсон Обучение. п. 760 . ISBN  978-0-03-083993-1 .