Кольцо смешанной характеристики

В коммутативной алгебре кольцо смешанной характеристики — это коммутативное кольцо. $R$ имеющий нулевую характеристику и имеющий идеал $I$ такой, что $R/I$ имеет положительную характеристику. ^[1]

Примеры

числа Целые $\mathbb {Z}$ имеют нулевую характеристику, но для любого простого числа $p$ , $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ является конечным полем с $p$ элементы и, следовательно, имеет характеристику $p$ .
Кольцо целых чисел любого числового поля имеет смешанную характеристику.
Зафиксируйте простое число p и локализуйте целые числа в простом идеале ( p ). Полученное кольцо Z _{( p )} имеет нулевую характеристику. Оно имеет единственный идеал pZ фактор _{( p )} , а Z ( _{p ) /} pZ ( ) _{p является максимальный} конечным полем с p элементами. В отличие от предыдущего примера, для колец вида Z _{( p )} / I единственно возможными характеристиками являются ноль (когда I — нулевой идеал ) и степени p (когда I — любой другой неединичный идеал); невозможно иметь частное какой-либо другой характеристики.
Если $P$ является ненулевым простым идеалом кольца ${\mathcal {O}}_{K}$ целых чисел числового поля $K$ , локализация то ${\mathcal {O}}_{K}$ в $P$ также имеет смешанные характеристики.
Целые p -адические числа Z _p для любого простого числа p представляют собой кольцо нулевой характеристики. Однако у них есть идеал, порожденный образом простого числа p при каноническом отображении Z → Z _p . Фактор Z _p / p Z _p снова является конечным полем из p элементов. Z _p — пример полного кольца дискретного нормирования смешанной характеристики.
Целые числа, кольцо целых чисел любого числового поля и любая локализация или пополнение одного из этих колец представляют собой характеристическую нулевую область Дедекинда .