Критерий обгона

В экономике критерий обгона используется для сравнения бесконечных потоков результатов. Математически он используется для правильного определения понятия оптимальности для задачи оптимального управления на неограниченном интервале времени. ^[1]

Часто решения политика могут иметь влияние, которое простирается на далекое будущее. Экономические решения, принимаемые сегодня, могут повлиять на экономический рост страны на неизвестное количество лет в будущем. В таких случаях часто бывает удобно смоделировать будущие результаты как бесконечный поток. Тогда может потребоваться сравнить два бесконечных потока и решить, какой из них лучше (например, для принятия решения о политике). Критерий обгона является одним из вариантов проведения такого сравнения.

Обозначения

$X$ это совокупность возможных результатов. Например, это может быть набор положительных действительных чисел, представляющих возможный годовой валовой внутренний продукт . Это нормализовано

$X^{\infty }$ представляет собой множество бесконечных последовательностей возможных результатов. Каждый элемент в $X^{\infty }$ имеет вид: $x=(x_{1},x_{2},\ldots )$ .

$\preceq$ это частичный заказ . Даны две бесконечные последовательности $x,y$ , возможно, что $x$ немного лучше( $x\succeq y$ ) или что $y$ немного лучше( $y\succeq x$ ) или что они несравнимы.

$\prec$ это строгий вариант $\preceq$ , то есть, $x\prec y$ если $x\preceq y$ и не $y\preceq x$ .

Кардинальное определение

$\prec$ называется «критерием обгона», если существует бесконечная последовательность вещественных функций $u_{1},u_{2},\ldots :X\to \mathbb {R}$ такой, что: ^[2]

x\prec y

если только

\exists N_{0}:\forall N>N_{0}:\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})<\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})

Альтернативное условие: ^[3]^[4]

x\succ y

если только

0<\lim \inf _{N\to \infty }\sum _{t=1}^{N}u_{t}(x_{t})-\sum _{t=1}^{N}u_{t}(y_{t})

Примеры:

1. В следующем примере $x\prec y$ :

x=(0,0,0,0,...)

y=(-1,2,0,0,...)

Это показывает, что разница в одном периоде времени может повлиять на всю последовательность.

2. В следующем примере $x$ и $y$ несравнимы:

x=(4,1,4,4,1,4,4,1,4,\ldots )

y=(3,3,3,3,3,3,3,3,3,\ldots )

Частичные суммы $x$ больше, затем меньше, а затем равны частичным суммам $y$ , поэтому ни одна из этих последовательностей не «обгоняет» другую.

Это также показывает, что критерий обгона не может быть представлен одной кардинальной функцией полезности . То есть не существует действительной функции $U$ такой, что $x\prec y$ если только $U(x)<U(y)$ . Один из способов увидеть это: ^[3] для каждого $a,b\in \mathbb {R}$ и $a<b$ :

(a,a,\ldots )\prec (a+1,a,\ldots )\prec (b,b,\ldots )

Следовательно, существует множество непересекающихся непустых отрезков в $(X,\prec )$ с мощностью, такой как мощность $\mathbb {R}$ . Напротив, каждый набор непересекающихся непустых сегментов в $(\mathbb {R} ,\prec )$ должно быть счетным множеством .

Порядковое определение

Определять $X_{T}$ как подмножество $X^{\infty }$ в котором только первые T элементов ненулевые. Каждый элемент $X_{T}$ имеет форму $(x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )$ .

$\prec$ называется «критерием обгона», если он удовлетворяет следующим аксиомам:

1. Для каждого $T$ , $\preceq$ это полный порядок на $X_{T}$

2. Для каждого $T$ , $\preceq$ является непрерывным отношением в очевидной топологии на $X_{T}$ .

3. Для каждого $T>1$ , $X_{T}$ является преимущественно независимым ( в теоремах Дебре № Аддитивность порядковой функции полезности определение см. ). Также для каждого $T\geq 3$ , по крайней мере, три фактора в $X_{T}$ существенны (влияют на предпочтения).

4. $x\prec y$ если только $\exists T_{0}:\forall T>T_{0}:(x_{1},\ldots ,x_{T},0,0,0,\ldots )\prec (y_{1},\ldots ,y_{T},0,0,0,\ldots )$

Каждый частичный порядок, удовлетворяющий этим аксиомам, также удовлетворяет первому кардинальному определению. ^[2]

Как объяснялось выше, некоторые последовательности могут быть несравнимы по критерию обгона. Поэтому критерий обгона определяется как частичное упорядочение по $X^{\infty }$ , а полный заказ только на $X_{T}$ .

Приложения

Критерий догона используется в теории экономического роста . ^[5]

Он также используется в теории повторяющихся игр как альтернатива критерию предела средств и критерию дисконтированной суммы. См. Народную теорему (теория игр)#Обгон . ^[3]^[4]

См. также

Ссылки

^ Карлсон, Д.А.; Хори, AB; Лейзаровиц, А. (1991). «Определение оптимальности на неограниченном интервале времени». Оптимальное управление с бесконечным горизонтом . Берлин: Шпрингер. стр. 9–17. ISBN 3-540-54249-3 .
^ Jump up to: ^а ^б Брок, Уильям А. (1970). «Аксиоматическая основа критерия обгона Рэмси – Вайцзеккера». Эконометрика . 38 (6): 927–929. дои : 10.2307/1909701 . JSTOR 1909701 .
^ Jump up to: ^а ^б ^с Рубинштейн, Ариэль (1979). «Равновесие в супериграх с критерием обгона». Журнал экономической теории . 21 : 1–9. дои : 10.1016/0022-0531(79)90002-4 .
^ Jump up to: ^а ^б Рубинштейн, А. (1980). «Сильное совершенное равновесие в супериграх». Международный журнал теории игр . 9 : 1–12. дои : 10.1007/BF01784792 .
^ См. статьи: Гейла, Купманса, Маккензи, фон Вайцзеккера и Брока .

[1] Карлсон, Д.А.; Хори, AB; Лейзаровиц, А. (1991). «Определение оптимальности на неограниченном интервале времени». Оптимальное управление с бесконечным горизонтом . Берлин: Шпрингер. стр. 9–17. ISBN 3-540-54249-3 .

[Brock1970-2] Jump up to: ^а ^б Брок, Уильям А. (1970). «Аксиоматическая основа критерия обгона Рэмси – Вайцзеккера». Эконометрика . 38 (6): 927–929. дои : 10.2307/1909701 . JSTOR 1909701 .

[Rubinstein79-3] Jump up to: ^а ^б ^с Рубинштейн, Ариэль (1979). «Равновесие в супериграх с критерием обгона». Журнал экономической теории . 21 : 1–9. дои : 10.1016/0022-0531(79)90002-4 .

[Rubinstein80-4] Jump up to: ^а ^б Рубинштейн, А. (1980). «Сильное совершенное равновесие в супериграх». Международный журнал теории игр . 9 : 1–12. дои : 10.1007/BF01784792 .

[5] См. статьи: Гейла, Купманса, Маккензи, фон Вайцзеккера и Брока .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]