Треугольник Безье

Треугольник Безье — это особый тип поверхности Безье , который создается путем ( линейной , квадратичной , кубической или более высокой степени) интерполяции контрольных точек.

n -го порядка Треугольник Безье

Общий треугольник Безье n -го порядка имеет ( n +1)( n + 2)/2 контрольных точки α ^яб ^джс ^к где i , j , k — неотрицательные целые числа такие, что i + j + k = n . ^{[ 1 ]} Тогда поверхность определяется как

(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{n}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{n \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,n\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {n!}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}

для всех неотрицательных действительных чисел s + t + u = 1.

С линейным порядком ( ${\textstyle n=1}$ ), получившийся треугольник Безье на самом деле представляет собой правильный плоский треугольник с вершинами треугольника, равными трем контрольным точкам. Квадратное ( ${\textstyle n=2}$ ) Треугольник Безье имеет 6 контрольных точек, все они расположены по краям. Кубик ( ${\textstyle n=3}$ ) Треугольник Безье определяется 10 контрольными точками и представляет собой треугольник Безье низшего порядка, имеющий внутреннюю контрольную точку, не расположенную на краях. Во всех случаях края треугольника будут кривыми Безье одной и той же степени.

Кубический треугольник Безье

Кубический треугольник Безье — это поверхность с уравнением

{\begin{aligned}p(s,t,u)=(\alpha s+\beta t+\gamma u)^{3}=\;&\beta ^{3}\,t^{3}+3\,\alpha \beta ^{2}\,st^{2}+3\,\beta ^{2}\gamma \,t^{2}u\;+\\&3\,\alpha ^{2}\beta \,s^{2}t+6\,\alpha \beta \gamma \,stu+3\,\beta \gamma ^{2}\,tu^{2}\,+\\&\alpha ^{3}\,s^{3}+3\,\alpha ^{2}\gamma \,s^{2}u+3\,\alpha \gamma ^{2}\,su^{2}+\gamma ^{3}\,u^{3}\end{aligned}}

где α ³, б ³, с ³, а ²б, аб ², б ²в, выход ², ул. ², а ²γ и αβγ — контрольные точки треугольника, а s , t , u (при 0 ≤ s , t , u ≤ 1 и s + t + u = 1) — барицентрические координаты внутри треугольника. ^{[ 2 ]}^{[ 1 ]}

В качестве альтернативы кубический треугольник Безье можно выразить в более обобщенной формулировке как

{\begin{aligned}p(s,t,u)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{3 \choose i\ j\ k}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}=\sum _{\begin{smallmatrix}i+j+k\,=\,3\\i,j,k\,\geq \,0\end{smallmatrix}}{\frac {6}{i!j!k!}}s^{i}t^{j}u^{k}\alpha ^{i}\beta ^{j}\gamma ^{k}\end{aligned}}

в соответствии с формулировкой треугольника Безье § n- го порядка .

Углами треугольника являются точки α ³, б ³ и с ³. Края треугольника сами по себе являются кривыми Безье с теми же контрольными точками, что и треугольник Безье.

Удаление члена γ u приводит к регулярной кривой Безье. Кроме того, хотя это и не очень полезно для отображения на физическом экране компьютера, добавление дополнительных членов приводит к тетраэдру Безье или многограннику Безье .

Из-за характера уравнения весь треугольник будет содержаться в объеме, окруженном контрольными точками, а аффинные преобразования контрольных точек будут правильно преобразовывать весь треугольник таким же образом.

Разделение кубического треугольника Безье пополам

Преимущество треугольников Безье в компьютерной графике заключается в том, что для разделения треугольника Безье на два отдельных треугольника Безье требуется только сложение и деление на два, а не с плавающей запятой арифметика . Это означает, что, хотя треугольники Безье гладкие, их можно легко аппроксимировать с помощью правильных треугольников, рекурсивно разделив треугольник на две части, пока полученные треугольники не будут считаться достаточно маленькими.

Следующее вычисляет новые контрольные точки для половины полного треугольника Безье с углом α. ³, угол на полпути кривой Безье между α ³ и б ³, а третий угол γ ³.

{\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}{'}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}{'}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}{'}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}{'}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0&0&0&0&0\\{1 \over 8}&{3 \over 8}&{3 \over 8}&{1 \over 8}&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0&0&0&0\\0&0&0&0&{1 \over 4}&{2 \over 4}&{1 \over 4}&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&{1 \over 2}&{1 \over 2}&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\boldsymbol {\alpha ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\beta }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta ^{3}}}\\{\boldsymbol {\alpha ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \beta \gamma }}\\{\boldsymbol {\beta ^{2}\gamma }}\\{\boldsymbol {\alpha \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\beta \gamma ^{2}}}\\{\boldsymbol {\gamma ^{3}}}\end{pmatrix}}

эквивалентно, используя только сложение и деление на два,

${\begin{matrix}&&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\alpha ^{2}\beta :=(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}\beta )/2&\alpha \beta ^{2}:=(\alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2})/2&\beta ^{3}:=(\alpha \beta ^{2}+\beta ^{3})/2\\\end{matrix}}$

${\begin{matrix}&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma )/2\\\alpha \beta \gamma :=(\alpha ^{2}\gamma +\alpha \beta \gamma )/2&\beta ^{2}\gamma :=(\alpha \beta \gamma +\beta ^{2}\gamma )/2\\\end{matrix}}$

$\beta \gamma ^{2}:=(\alpha \gamma ^{2}+\beta \gamma ^{2})/2$

где := означает замену вектора слева вектором справа.

Обратите внимание, что разделение треугольника Безье пополам аналогично делению пополам кривых Безье всех порядков, вплоть до порядка треугольника Безье.

См. также

Кривая Безье
Поверхность Безье (биквадратные участки представляют собой прямоугольники Безье)
Поверхность

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Фарин, Джеральд (2002), Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования (5-е изд.), Academic Press Science & Technology Books, ISBN 978-1-55860-737-8
^ 3D-рендеринг поверхности в Postscript

Дальнейшее чтение

Рот, С.Х. Мартин; Диези, Патрик; Гросс, Маркус Х. (сентябрь 2001 г.), «Треугольные участки Безье с трассировкой лучей», Computer Graphics Forum , 20 (3): 422–432, doi : 10.1111/1467-8659.00535
Рот, SHM; Диези, П.; Гросс, М.Х. (2000), «Треугольное вырезание Безье», Труды Восьмой Тихоокеанской конференции по компьютерной графике и приложениям (PCCGA-00) , Компьютерное общество IEEE, doi : 10.1109/pccga.2000.883971 , hdl : 20.500.11850/68729
Ян, Сюньнянь; Чжэн, Цзяньминь (апрель 2012 г.), «Нормальная интерполяция с учетом формы для затенения изогнутой поверхности на основе многогранной аппроксимации», The Visual Computer , 29 (3): 189–201, doi : 10.1007/s00371-012-0715-y
Шварц, Майкл; Стаммингер, Марк (2006), «Изогнутые треугольники на основе пиксельных шейдеров», SIGGRAPH '06: Плакаты исследований ACM SIGGRAPH 2006 (PDF) , ACM Press, doi : 10.1145/1179622.1179680 , заархивировано из оригинала (PDF) 2011-01 гг. -03
Баррера, Тони; Хаст, Андерс; Бенгтссон, Эверт, «Построение поверхности с почти наименьшим квадратичным ускорением на основе нормалей вершин на треугольных сетках» (PDF) , в Оллиле, Марке (редактор), SIGRAD 2002 , стр. 43–48

Внешние ссылки

Квадратичные треугольники Безье как примитивы рисования. Содержит дополнительную информацию о плоских и квадратичных треугольниках Безье.
Изогнутые треугольники PN (особый вид кубических треугольников Безье)

[:0-1] Перейти обратно: ^а ^б Фарин, Джеральд (2002), Кривые и поверхности для компьютерного геометрического проектирования (5-е изд.), Academic Press Science & Technology Books, ISBN 978-1-55860-737-8

[2] 3D-рендеринг поверхности в Postscript

[ 1 ]

[ 2 ]