Реакция нулевого состояния

В электрических цепей теории реакция нулевого состояния ( ZSR ) — это поведение или реакция цепи с начальным нулевым состоянием. ZSR является результатом только внешних входов или управляющих функций схемы, а не исходного состояния.

Общий отклик схемы представляет собой суперпозицию ZSR и ZIR, или нулевой входной отклик. ZIR возникает только из исходного состояния схемы, а не из какого-либо внешнего привода. ZIR также называют естественным откликом , а резонансные частоты ZIR называются собственными частотами . Учитывая описание системы в s-домене, ответ в нулевом состоянии можно описать как Y(s)=Init(s)/a(s), где a(s) и Init(s) зависят от системы.

Нулевой отклик состояния и нулевой входной отклик в схемах интегратора и дифференциатора

Одним из примеров использования отклика в нулевом состоянии являются схемы интегратора и дифференциатора. Исследуя простую схему интегратора, можно продемонстрировать, что, когда функция помещается в линейную инвариантную во времени (LTI) систему, выходной сигнал может характеризоваться суперпозицией или суммой нулевого входного отклика и отклика в нулевом состоянии.

Систему можно представить как

$f(t)\,$ $y(t)=y(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau$

с вводом $f(t).\$ слева и выход $y(t).\$ справа.

Выход $y(t).\$ можно разделить на нулевой вход и решение в нулевом состоянии с помощью

$y(t)=\underbrace {y(t_{0})} _{Zero-input\ response}+\underbrace {\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau } _{Zero-state\ response}.$

Вклад $y(t_{0})\,$ и $f(t)\,$ для вывода $y(t)\,$ являются аддитивными, и каждый вклад $y(t_{0})\,$ и $\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau$ исчезает с исчезновением $y(t_{0})\,$ и $f(t).\,$

Такое поведение представляет собой линейную систему . Линейная система имеет выход, который представляет собой сумму различных компонентов с нулевым входом и нулевым состоянием, каждый из которых изменяется линейно в зависимости от начального состояния системы и входа системы соответственно.

Нулевой входной отклик и нулевой отклик состояния независимы друг от друга, и поэтому каждый компонент может быть вычислен независимо от другого.

Реакция нулевого состояния в схемах интегратора и дифференциатора

Реакция нулевого состояния $\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau$ представляет собой вывод системы $y(t)\,$ когда $y(t_{0})=0.\,$

Когда нет влияния внутренних напряжений или токов из-за ранее заряженных компонентов.

$y(t)=\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau .\,$

Реакция в нулевом состоянии зависит от входного сигнала системы, и в условиях нулевого состояния мы могли бы сказать, что два независимых входа приводят к двум независимым выходам:

$f_{1}(t)\,$$y_{1}(t)\,$

и

$f_{2}(t)\,$$y_{2}(t).\,$

Благодаря линейности мы можем затем применить принципы суперпозиции для достижения

$Kf_{1}(t)+Kf_{2}(t)\,$$Ky_{1}(t)+Ky_{2}(t).\,$

Проверка отклика нулевого состояния в схемах интегратора и дифференциатора

Чтобы прийти к общему уравнению

Простая схема интегратора

Схема справа действует как простая схема интегратора и будет использоваться для проверки уравнения $y(t)=\int _{t_{0}}^{t}f(\tau )d\tau \,$ как отклик нулевого состояния схемы интегратора.

Конденсаторы имеют соотношение ток-напряжение $i(t)=C{\frac {dv}{dt}}$ где C — емкость , измеряемая в фарадах конденсатора .

Манипулируя приведенным выше уравнением, можно показать, что конденсатор эффективно интегрирует ток, проходящий через него. Полученное уравнение также демонстрирует нулевое состояние и нулевой входной отклик схемы интегратора.

Во-первых, интегрируя обе части приведенного выше уравнения

$\int _{a}^{b}i(t)dt=\int _{a}^{b}C{\frac {dv}{dt}}dt.$

Во-вторых, интегрируя правую часть

$\int _{a}^{b}i(t)dt=C[v(b)-v(a)].$

В-третьих, распределите и вычтите $Cv(a)\,$ получить

$Cv(b)=Cv(a)+\int _{a}^{b}i(t)dt.$

В-четвёртых, разделите на $C\,$ достичь

$v(b)=v(a)+{\frac {1}{C}}\int _{a}^{b}i(t)dt.$

Подставив $t\,$ для $b\,$ и $t_{o}\,$ для $a\,$ и используя фиктивную переменную $\tau \,$ в качестве переменной интегрирования общее уравнение

$v(t)=v(t_{0})+{\frac {1}{C}}\int _{t_{0}}^{t}i(\tau )d\tau$

найден.

Чтобы прийти к конкретному примеру схемы

Затем общее уравнение можно использовать для дальнейшей демонстрации этой проверки, используя условия простой схемы интегратора, приведенной выше.

Используя емкость 1 фарад, как показано в схеме интегратора выше.

$v(t)=v(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}i(\tau )d\tau ,$

это уравнение, содержащее нулевой входной сигнал и ответ нулевого состояния, показанные в верхней части страницы.

Чтобы проверить линейность нулевого состояния

Чтобы проверить линейность его нулевого состояния, установите напряжение вокруг конденсатора в момент времени 0, равное 0, или $v(t_{0})=0\,$, что означает отсутствие начального напряжения. Это исключает первый член, образующий уравнение

$v(t)=\int _{t_{0}}^{t}i(\tau )d\tau .\,$.

В соответствии с методами линейных стационарных систем , поместив в схему интегратора два разных входа, $i_{1}(t)\,$ и $i_{2}(t)\,$, два разных выхода

$v_{1}(t)=\int _{t_{0}}^{t}i_{1}(\tau )d\tau \,$

и

$v_{2}(t)=\int _{t_{0}}^{t}i_{2}(\tau )d\tau \,$

находятся соответственно.

Используя принцип суперпозиции, входные данные $i_{1}(t)\,$ и $i_{2}(t)\,$ можно объединить, чтобы получить новый ввод

$i_{3}(t)=K_{1}i_{1}(t)+K_{2}i_{2}(t)\,$

и новый выход

$v_{3}(t)=\int _{t_{0}}^{t}(K_{1}i_{1}(\tau )+K_{2}i_{2}(\tau ))d\tau .$

Интегрируя правую часть

$v_{3}(t)=K_{1}\int _{t_{0}}^{t}i_{1}(\tau )d\tau +K_{2}\int _{t_{0}}^{t}i_{2}(\tau )d\tau ,$

$v_{3}(t)=K_{1}v_{1}(t)+K_{2}v_{2}(t)\,$

находится, что означает, что система линейна в нулевом состоянии, $v(t_{0})=0\,$.

Весь этот пример проверки также можно было бы выполнить с источником напряжения вместо источника тока и катушкой индуктивности вместо конденсатора. Тогда нам пришлось бы искать ток, а не напряжение.

Индустрия с нулевым ответом государства использует

Метод анализа цепей, при котором выход системы переводится в нулевое состояние и нулевую входную реакцию, используется во всей отрасли, включая схемы , системы управления , обработки сигналов и электромагнетизм . Кроме того, большинство программ для моделирования схем, таких как SPICE , поддерживают этот метод в той или иной форме.