сорт Хессенберг

В геометрии многообразия Хессенберга , впервые изученные Филиппо Де Мари, Клаудио Процессези и Марком А. Шейманом, представляют собой семейство подмногообразий полного многообразия флагов которые определяются функцией Хессенберга h и линейным преобразованием X. , Изучение многообразий Хессенберга было сначала мотивировано вопросами численного анализа в отношении алгоритмов вычисления собственных значений и собственных пространств линейного оператора X . Более поздние работы Т. А. Спрингера , Дейла Петерсона, Бертрама Костанта и других обнаружили связи с комбинаторикой , теорией представлений и когомологиями .

Определения

Функция Хессенберга — это отображение

h:\{1,2,\ldots ,n\}\rightarrow \{1,2,\ldots ,n\}

такой, что

h(i+1)\geq {\text{max }}(i,h(i))

для каждого я . Например, функция, которая переводит числа от 1 до 5 (по порядку) в 2, 3, 3, 4 и 5, является функцией Хессенберга.

Для любой функции Хессенберга h и линейного преобразования

X:\mathbb {C} ^{n}\rightarrow \mathbb {C} ^{n},\,

Хессенберг сорт ${\mathcal {H}}(X,h)$ это набор всех флагов $F_{\bullet }$ такой, что

X\cdot F_{i}\subseteq F_{h(i)}

для всех я .

Некоторые примеры сортов Хессенберг (с их $h$ функция) включают в себя:

Разновидность полного флага: h ( i ) = n для всех i

Сорт Петерсон : $h(i)=i+1$ для $i=1,2,\dots ,n-1$

Спрингер Сорт : $h(i)=i$ для всех $i$ .

Де Мари, Филиппо; Прочези, Клаудио ; Шайман, Марк А. (1992). «Сорта Хессенберг» . Труды Американского математического общества . 332 (2): 529–534. дои : 10.1090/S0002-9947-1992-1043857-6 . МР 1043857 .
Бертрам Костант , Квантовые когомологии многообразия флага, решетка Тоды и представление с высшим весом $\rho$ , Избранная математика (NS) 2 , 1996, 43–91.
Джулианна Тимочко , Линейные условия, налагаемые на разновидности флагов , Американский журнал математики 128 (2006), 1587–1604.