Тест Брауна-Форсайта

Тест Брауна-Форсайта — это статистический тест на равенство групповых дисперсий, основанный на выполнении дисперсионного анализа (ANOVA) при преобразовании переменной отклика . При выполнении однофакторного дисперсионного анализа предполагается, что выборки были взяты из распределений с равной дисперсией . Если это предположение неверно, результирующий F -тест недействителен. Статистика теста Брауна-Форсайта представляет собой статистику F, полученную в результате обычного одностороннего дисперсионного анализа абсолютных отклонений данных групп или методов лечения от их индивидуальных медиан.

Трансформация

Преобразованная переменная ответа создана для измерения разброса в каждой группе. Позволять

$z_{ij}=\left\vert y_{ij}-{\tilde {y}}_{j}\right\vert$

где ${\tilde {y}}_{j}$ является медианой группы j . Статистика теста Брауна-Форсайта представляет собой статистику модели F из одностороннего дисперсионного анализа по z _ij :

$F={\frac {(N-p)}{(p-1)}}{\frac {\sum _{j=1}^{p}n_{j}({\tilde {z}}_{\cdot j}-{\tilde {z}}_{\cdot \cdot })^{2}}{\sum _{j=1}^{p}\sum _{i=1}^{n_{j}}(z_{ij}-{\tilde {z}}_{\cdot j})^{2}}}$

где p — количество групп, n _j — количество наблюдений в группе j , а N — общее количество наблюдений. Также ${\tilde {z}}_{\cdot j}$ являются групповыми средствами $z_{ij}$ и ${\tilde {z}}_{\cdot \cdot }$ это общее среднее значение $z_{ij}$. Эта F -статистика следует F -распределению со степенями свободы. $d_{1}=p-1$ и $d_{2}=N-p$ при нулевой гипотезе.

Если дисперсии действительно неоднородны, методы, позволяющие это сделать (например, однофакторный дисперсионный анализ Уэлча вместо обычного дисперсионного анализа можно использовать ).

Гуд, отметив, что отклонения линейно зависимы, модифицировал тест, чтобы исключить избыточные отклонения.

Сравнение с тестом Левена

Тест Левена использует среднее значение вместо медианы. Хотя оптимальный выбор зависит от основного распределения, рекомендуется определение, основанное на медиане, как выбор, который обеспечивает хорошую устойчивость ко многим типам ненормальных данных, сохраняя при этом хорошую статистическую мощность . Если кто-то знает основное распределение данных, это может указывать на использование одного из других вариантов. Браун и Форсайт провели исследования Монте-Карло , которые показали, что использование усеченного среднего значения дает наилучшие результаты, когда базовые данные следуют распределению Коши ( распределение с тяжелым хвостом ), а медиана работает лучше всего, когда базовые данные соответствуют χ ² распределение с четырьмя степенями свободы (резко перекошенное распределение ). Использование среднего значения обеспечивает наилучшую мощность для симметричных распределений с умеренным хвостом. О'Брайен протестировал несколько способов использования традиционного дисперсионного анализа для проверки неоднородности распределения в факторных планах с равными или неравными размерами выборки. Псевдозначения складного ножа s ² и показано, что абсолютные отклонения от медианы ячейки являются устойчивыми и относительно значительными.

См. также

• Критерий Бартлетта для неравных дисперсий, который получен на основе теста отношения правдоподобия при нормальном распределении.

Внешние ссылки

• NIST: Тест Левена на равенство дисперсий

Эта статья включает общедоступные материалы Национального института стандартов и технологий.