тест Левена

В статистике дисперсий тест Левена — это статистический вывод, используемый для оценки равенства переменной , рассчитанной для двух или более групп. ^{[ 1 ]} Этот тест используется потому, что некоторые распространенные статистические процедуры предполагают, что дисперсии совокупностей, из которых взяты разные выборки, равны. Тест Левена оценивает это предположение. Он проверяет нулевую гипотезу о том, что дисперсии генеральной совокупности равны (так называемая однородность дисперсии или гомоскедастичность ). Если результирующее p значение теста Левена меньше некоторого уровня значимости (обычно 0,05), полученные различия в выборочных дисперсиях вряд ли возникнут на основе случайной выборки из совокупности с равными дисперсиями. Таким образом, нулевая гипотеза о равных дисперсиях отвергается и делается вывод о наличии разницы между дисперсиями в генеральной совокупности.

Критерий Левена использовался в прошлом перед сравнением средних значений для принятия решения о том, использовать ли объединенный t-критерий или t-критерий Уэлча для двух выборочных тестов или дисперсионного анализа , или модифицированный однофакторный дисперсионный анализ Уэлча для многоуровневых тестов. . Однако было показано, что такая двухэтапная процедура может заметно увеличить ошибку типа 1, полученную с помощью t-тестов, и поэтому не рекомендуется. ^{[ 2 ]} Вместо этого предпочтительный подход — во всех случаях просто использовать тест Уэлча. ^{[ 2 ]}

Тест Левена также можно использовать в качестве основного теста для ответа на отдельный вопрос о том, имеют ли две подвыборки в данной совокупности равные или разные дисперсии. ^{[ 3 ]}

Тест Левена был разработан и назван в честь американского статистика и генетика Говарда Левена .

Определение

Тест Левена эквивалентен однофакторному дисперсионному анализу между группами (ANOVA), где зависимой переменной является абсолютное значение разницы между оценкой и средним значением группы, к которой принадлежит оценка (показано ниже как $Z_{ij}=|Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }|$ ). Статистика теста, $W$ , эквивалентно $F$ статистика, которая будет получена с помощью такого ANOVA, и определяется следующим образом:

W={\frac {(N-k)}{(k-1)}}\cdot {\frac {\sum _{i=1}^{k}N_{i}(Z_{i\cdot }-Z_{\cdot \cdot })^{2}}{\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{N_{i}}(Z_{ij}-Z_{i\cdot })^{2}}},

где

$k$ - количество различных групп, к которым относятся отобранные случаи,
$N_{i}$ это количество случаев в $i$ группа,
$N$ – общее количество случаев во всех группах,
$Y_{ij}$ – значение измеряемой переменной для $j$ этот случай из $i$ группа,
$Z_{ij}={\begin{cases}|Y_{ij}-{\bar {Y}}_{i\cdot }|,&{\bar {Y}}_{i\cdot }{\text{ is a mean of the }}i{\text{-th group}},\\|Y_{ij}-{\tilde {Y}}_{i\cdot }|,&{\tilde {Y}}_{i\cdot }{\text{ is a median of the }}i{\text{-th group}}.\end{cases}}$

(Используются оба определения, хотя второе, строго говоря, представляет собой тест Брауна – Форсайта – сравнение см. ниже.)

$Z_{i\cdot }={\frac {1}{N_{i}}}\sum _{j=1}^{N_{i}}Z_{ij}$ является средним значением $Z_{ij}$ для группы $i$ ,
$Z_{\cdot \cdot }={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{k}\sum _{j=1}^{N_{i}}Z_{ij}$ это среднее из всех $Z_{ij}$ .

Тестовая статистика $W$ приблизительно F-распределено с $k-1$ и $N-k$ степеней свободы, и, следовательно, значение результата $w$ из $W$ протестировано против $F(1-\alpha ;k-1,N-k)$ где $F$ является квантилем F-распределения, причем $k-1$ и $N-k$ степени свободы и $\alpha$ — выбранный уровень значимости (обычно 0,05 или 0,01).

Сравнение с тестом Брауна – Форсайта

Тест Брауна-Форсайта использует медиану вместо среднего значения при вычислении разброса внутри каждой группы ( ${\bar {Y}}$ против. ${\tilde {Y}}$ , выше). Хотя оптимальный выбор зависит от основного распределения, рекомендуется определение, основанное на медиане, как выбор, который обеспечивает хорошую устойчивость ко многим типам ненормальных данных, сохраняя при этом хорошую статистическую мощность . ^{[ 3 ]} Если кто-то знает основное распределение данных, это может указывать на использование одного из других вариантов. Браун и Форсайт провели исследования Монте-Карло , которые показали, что использование усеченного среднего дает лучший результат, когда базовые данные следуют распределению Коши ( распределение с тяжелым хвостом ), а медиана работает лучше всего, когда базовые данные следуют распределению хи-квадрат с четырьмя степенями распределения. свобода (сильно искаженное распределение ). Использование среднего значения обеспечивает наилучшую мощность для симметричных распределений с умеренным хвостом.

Реализации программного обеспечения

Многие программы для работы с электронными таблицами и статистические пакеты, такие как R , Python , Julia и MATLAB, включают реализации теста Левена.

Язык/Программа	Функция	Примечания
Питон	`scipy.stats.levene(group1, group2, group3)`	См . [1]
МАТЛАБ	`vartestn(data,groups,'TestType','LeveneAbsolute')`	См . [2]
Р	`leveneTest(lm(y ~ x, data=data))`	См . [3]
Юлия	`HypothesisTests.LeveneTest(group1, group2, group3)`	См . [4]

См. также

Ссылки

^ Левен, Ховард (1960). «Надежные тесты на равенство дисперсий». В Ингрэме Олкине ; Гарольд Хотеллинг ; и др. (ред.). Вклад в теорию вероятности и статистики: очерки в честь Гарольда Хотеллинга . Издательство Стэнфордского университета. стр. 278–292.
^ Jump up to: ^а ^б Циммерманн, Дональд В. (2004). «Заметка о предварительных проверках равенства дисперсий» . Британский журнал математической и статистической психологии . 57 (1): 173–81. дои : 10.1348/000711004849222 .
^ Jump up to: ^а ^б Деррик, Б; Рак, А; Тохер, Д; Уайт, П. (2018). «Тест на равенство дисперсий между двумя выборками, которые содержат как парные наблюдения, так и независимые наблюдения» (PDF) . Журнал прикладных количественных методов . 13 (2): 36–47.

Внешние ссылки

[Levene1960-1] Левен, Ховард (1960). «Надежные тесты на равенство дисперсий». В Ингрэме Олкине ; Гарольд Хотеллинг ; и др. (ред.). Вклад в теорию вероятности и статистики: очерки в честь Гарольда Хотеллинга . Издательство Стэнфордского университета. стр. 278–292.

[Zimmermann2004-2] Jump up to: ^а ^б Циммерманн, Дональд В. (2004). «Заметка о предварительных проверках равенства дисперсий» . Британский журнал математической и статистической психологии . 57 (1): 173–81. дои : 10.1348/000711004849222 .

[patvar-3] Jump up to: ^а ^б Деррик, Б; Рак, А; Тохер, Д; Уайт, П. (2018). «Тест на равенство дисперсий между двумя выборками, которые содержат как парные наблюдения, так и независимые наблюдения» (PDF) . Журнал прикладных количественных методов . 13 (2): 36–47.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]