вейвлет Матье

Уравнение Матье представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. Французский математик Э. Леонар Матье впервые представил это семейство дифференциальных уравнений, ныне называемых уравнениями Матье, в своих «Воспоминаниях о колебаниях эллиптической мембраны» в 1868 году. «Функции Матье применимы к широкому кругу физических явлений, например , дифракция, амплитудные искажения, перевернутый маятник, устойчивость плавающего тела, радиочастотный квадруполь и вибрация в среде с модулированной плотностью" ^[1]

Вейвлеты эллиптического цилиндра

Это широкое семейство вейвлет-систем, обеспечивающих анализ с несколькими разрешениями . Величина фильтров детализации и сглаживания соответствует функциям Матье первого рода с нечетным характеристическим показателем. Количество вырезов этих фильтров можно легко определить, выбрав характеристический показатель степени. Вейвлеты эллиптического цилиндра, полученные этим методом ^[2] обладают потенциальным применением в области оптики и электромагнетизма благодаря своей симметрии.

Дифференциальные уравнения Матье

Уравнение Матье связано с волновым уравнением эллиптического цилиндра. В 1868 году французский математик Эмиль Леонар Матье представил семейство дифференциальных уравнений, которые сейчас называются уравнениями Матье . ^[3]

Данный $a\in \mathbb {R} ,q\in \mathbb {C}$ уравнение Матье имеет вид

{\frac {d^{2}y}{dw^{2}}}+(a-2q\cos 2w)y=0.

Уравнение Матье представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с периодическими коэффициентами. При q = 0 оно сводится к известному гармоническому осциллятору, где a представляет собой квадрат частоты. ^[4]

Решением уравнения Матье является гармоника эллиптического цилиндра, известная как функции Матье . Они уже давно применяются для решения широкого круга задач волноводов, связанных с эллиптической геометрией, в том числе:

анализ слабого направления для оптических волокон с эллиптической сердцевиной с ступенчатым индексом
Перенос энергии эллиптических волноводов
оценка излучаемых волн эллиптических рупорных антенн
эллиптические кольцевые микрополосковые антенны с произвольным эксцентриситетом $\nu$ )
рассеяние полоской с покрытием.

Функции Матье: косинус-эллиптические и синус-эллиптические функции.

В общем случае решения уравнения Матье не являются периодическими. Однако для данного q периодические решения существуют для бесконечного числа специальных значений (собственных значений) a . Для нескольких физически значимых решений y должно быть периодическим с периодом $\pi$ или $2\pi$ . Удобно различать четные и нечетные периодические решения, которые называются функциями Матье первого рода.

Можно рассмотреть один из четырех более простых типов: Периодическое решение ( $\pi$ или $2\pi$ ) симметрия (четная или нечетная).

Для $q\neq 0$ , единственные периодические решения y, соответствующие любому характеристическому значению $a=a_{r}(q)$ или $a=b_{r}(q)$ имеют следующие обозначения:

ce и se — аббревиатуры косинус-эллиптических и синус-эллиптических соответственно.

Четное периодическое решение: $ce_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\cos {m\omega }{\text{ for }}a=a_{r}(q)$
Нечетное периодическое решение: $se_{r}(\omega ,q)=\sum _{m}A_{r,m}\sin {m\omega }{\text{ for }}a=b_{r}(q)$

где суммы берутся по четным (соответственно нечетным) значениям m , если период y равен $\pi$ (соответственно $2\pi$ ).

Учитывая r , в дальнейшем будем обозначать $A_{r,m}$ к $A_{m}$ , короче.

Интересные отношения возникают, когда $q\to 0$ , $r\neq 0$ :

$\lim _{q\to 0}ce_{r}(\omega ,q)=\cos {r\omega }$ $\lim _{q\to 0}se_{r}(\omega ,q)=\sin {r\omega }$

На рис. 1 показаны две наглядные формы сигналов эллиптических косинусов, форма которых сильно зависит от параметров $\nu$ и q .

Рисунок 1. Некоторые графики $2\pi$ -периодические четные функции Матье 1-го рода. Форма эллиптических косинусов для следующего набора параметров: а) $\nu =1$ = и q = 5 ; б) $\nu =5$ = и q = 5.

Фильтры многоразрешительного анализа и уравнение Матье

Вейвлеты обозначаются $\psi (t)$ и функции масштабирования по $\phi (t)$ , с соответствующими спектрами $\Psi (\omega )$ и $\Phi (\omega )$ , соответственно.

Уравнение $\phi (t)={\sqrt {2}}\sum _{n\in Z}h_{n}\phi (2t-n)$ , известное как уравнение расширения или уточнения , является основным соотношением, определяющим мультиразрешающий анализ (MRA).

$H(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}h_{k}e^{j\omega k}$ – передаточная функция сглаживающего фильтра.

$G(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2}}}\sum _{k\in Z}g_{k}e^{j\omega k}$ — передаточная функция детального фильтра.

Передаточная функция «детального фильтра» вейвлета Матье равна

G_{\nu }(\omega )=e^{j(\nu -2)[{\frac {\omega -\pi }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega -\pi }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}.

Передаточная функция «сглаживающего фильтра» вейвлета Матье равна

H_{\nu }(\omega )=-e^{j\nu [{\frac {\omega }{2}}]}.{\frac {ce_{\nu }({\frac {\omega }{2}},q)}{ce_{\nu }(0,q)}}.

Характеристический показатель $\nu$ следует выбирать так, чтобы гарантировать подходящие начальные условия, т.е. $G_{\nu }(0)=0$ и $G_{\nu }(\pi )=1$ , которые совместимы с требованиями вейвлет-фильтра. Поэтому, $\nu$ должно быть странным.

Величина передаточной функции в точности соответствует модулю эллиптического синуса:

Примеры передаточной функции фильтра для MRA Матье показаны на рисунке 2. Значение a в каждом случае корректируется до собственного значения , что приводит к периодическому решению. Такие решения представляют собой ряд $\nu$ нули в интервале $0\leq |\omega |\leq \pi$ .

Рисунок 2 – Величина передаточной функции для фильтров многоразрешительного анализа Матье. (сглаживающий фильтр $H_{\nu }(\omega )$ и подробный фильтр $G_{\nu }(\omega )$ для нескольких параметров Матье.) (а) $\nu =1$ , q =5, а = 1,85818754...; (б) $\nu =1$ , q = 10, а = −2,3991424...; (с) $\nu =5$ , q = 10, а = 25,5499717...; (г) $\nu =5$ , q = 10, a = 27,70376873...

Коэффициенты фильтра G и H метода Матье MRA можно выразить через значения $\{A_{2l+1}\}_{l\in Z}$ функции Матье как:

{\frac {h_{l}}{\sqrt {2}}}=-{\frac {A_{|2l+1|}/2}{ce_{\nu }(0,q)}}

{\frac {g_{l}}{\sqrt {2}}}=(-1)^{l}{\frac {A_{|2l-3|}/2}{ce_{\nu }(0,q)}}

Между коэффициентами существуют рекуррентные соотношения:

(a-1-q)A_{1}-qA_{3}=0

(a-m^{2})A_{m}-q(A_{m-2}+A_{m+2}=0

для $m\geq 3$ , м странно.

Несложно показать, что $h_{-l}=h_{|l|-1}$ , $\forall l>0$ .

Нормализующие условия $\sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{h_{k}=-1}$ и $\sum _{k=-\infty }^{k=+\infty }{(-1)^{k}h_{k}=0}$ .

Форма волны вейвлетов Матье

Вейвлеты Матье могут быть получены из фильтра восстановления нижних частот с помощью каскадного алгоритма . Фильтры с бесконечной импульсной характеристикой ( БИХ-фильтр ) следует использовать, поскольку вейвлет Матье не имеет компактной поддержки . На рисунке 3 показана возникающая закономерность, которая постепенно становится похожей на форму вейвлета. В зависимости от параметров a и q некоторые сигналы (например, рис. 3b) могут иметь несколько необычную форму.

Ссылки

^ Л. Руби, «Применение уравнения Матье», Am. J. Phys., вып. 64, стр. 39–44, январь 1996 г.
^ MMS Lira, HM de Oiveira, RJS Cintra. Эллиптико-цилиндрические вейвлеты: Вейвлеты Матье, Письма об обработке сигналов IEEE , том 11, № 1, январь, стр. 52–55, 2004 г.
^ Э. Матье, Мемуары о вибрационном движении мембраны эллиптической формы, J. Math. Pures Appl ., т.13, 1868, стр. 137–203.
^ Н. В. Маклахлан, Теория и применение функций Матье, Нью-Йорк: Дувр, 1964.

[1] Л. Руби, «Применение уравнения Матье», Am. J. Phys., вып. 64, стр. 39–44, январь 1996 г.

[2] MMS Lira, HM de Oiveira, RJS Cintra. Эллиптико-цилиндрические вейвлеты: Вейвлеты Матье, Письма об обработке сигналов IEEE , том 11, № 1, январь, стр. 52–55, 2004 г.

[3] Э. Матье, Мемуары о вибрационном движении мембраны эллиптической формы, J. Math. Pures Appl ., т.13, 1868, стр. 137–203.

[4] Н. В. Маклахлан, Теория и применение функций Матье, Нью-Йорк: Дувр, 1964.

[1]

[2]

[3]

[4]