Пространство Леба

В математике пространство Леба — это тип пространства с мерой, введенный Лебом ( 1975 ) с использованием нестандартного анализа .

Строительство

Конструкция Леба начинается с конечно-аддитивного отображения. $\nu$ из внутренней алгебры ${\mathcal {A}}$ множеств к нестандартным реалам . Определять $\mu$ должно быть задано стандартной частью $\nu$, так что $\mu$ является конечно-аддитивным отображением из ${\mathcal {A}}$ к расширенным реалам ${\overline {\mathbb {R} }}$. Даже если ${\mathcal {A}}$ является нестандартным $\sigma$-алгебра , алгебра ${\mathcal {A}}$ не обязательно должен быть обычным $\sigma$-алгебра, так как она обычно не замкнута счетными объединениями. Вместо этого алгебра ${\mathcal {A}}$ обладает тем свойством, что если множество в нем представляет собой объединение счетного семейства элементов ${\mathcal {A}}$, то множество представляет собой объединение конечного числа элементов семейства, поэтому, в частности, любое конечно-аддитивное отображение (например, $\mu$) от ${\mathcal {A}}$ к расширенным реалам автоматически является счетно-аддитивным. Определять ${\mathcal {M}}$ быть $\sigma$-алгебра, порожденная ${\mathcal {A}}$. Тогда по теореме Каратеодори о продолжении мера $\mu$ на ${\mathcal {A}}$ продолжается до счетно-аддитивной меры на ${\mathcal {M}}$, называемая мерой Леба.

Ссылки

• Катленд, Найджел Дж. (2000), Меры Леба на практике: последние достижения , Конспекты лекций по математике, том. 1751, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b76881 , ISBN  978-3-540-41384-4 , МР   1810844
• Голдблатт, Роберт (1998), Лекции по гиперреальным , Тексты для выпускников по математике, том. 188, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-0615-6 , ISBN.  978-0-387-98464-3 , МР   1643950
• Леб, Питер А. (1975). «Преобразование нестандартных пространств с мерой в стандартные и приложения в теории вероятностей» . Труды Американского математического общества . 211 : 113–22. дои : 10.2307/1997222 . ISSN   0002-9947 . JSTOR   1997222 . MR   0390154 – через JSTOR .

Внешние ссылки

• Домашняя страница Питера Леба