Горячая игра

В комбинаторной теории игр , разделе математики, горячая игра — это игра, в которой каждый игрок может улучшить свою позицию, сделав следующий ход.

Напротив, холодная игра — это игра, в которой каждый игрок может только ухудшить свою позицию, сделав следующий ход. Холодные игры имеют значения в сюрреалистических числах и поэтому могут быть упорядочены по значению, тогда как горячие игры могут иметь другие значения. ^[1]

Пример

Например, рассмотрим игру, в которой игроки поочередно убирают жетоны своего цвета со стола: синий игрок убирает только синие жетоны, а красный игрок убирает только красные жетоны, при этом победителем становится последний игрок, убирающий жетон. Очевидно, что победа достанется тому игроку, который начинает с большим количеством жетонов, или второму игроку, если количество красных и синих жетонов одинаково. Удаление жетона своего цвета делает положение немного хуже для игрока, сделавшего ход, поскольку у этого игрока теперь на столе меньше жетонов. Таким образом, каждый жетон представляет собой «холодную» составляющую игры.

Теперь рассмотрим специальный фиолетовый жетон с номером «100», который может удалить любой игрок, который затем заменяет фиолетовый жетон 100 жетонами своего цвета. (В обозначениях Конвея фиолетовый жетон — это игра {100|−100}.) Фиолетовый жетон — это «горячий» компонент, поскольку очень выгодно быть тем игроком, который убирает фиолетовый жетон. Действительно, если на столе есть фиолетовые жетоны, игроки предпочтут сначала убрать их, оставив красные или синие жетоны напоследок. В общем, игрок всегда предпочтет ход в горячей игре, а не в холодной, потому что ход в горячей игре улучшает его позицию, а ход в холодной игре ухудшает его позицию.

Температура

Температура . игры является мерой ее ценности для двух игроков Фиолетовый жетон «100» имеет температуру 100, поскольку его ценность для каждого игрока равна 100 ходам. В общем, игроки предпочтут использовать самый популярный компонент из доступных. Например, предположим, что есть фиолетовый жетон «100», а также фиолетовый жетон «1000», который позволяет игроку, который его взял, выбросить на стол 1000 жетонов своего цвета. Каждый игрок предпочтет удалить жетон «1000» с температурой 1000 перед жетоном «100» с температурой 100.

В качестве более сложного примера рассмотрим игру {10|2} + {5|−5}. {5|−5} — это жетон, который любой игрок может заменить 5 жетонами своего цвета, а {10|2} — это жетон, который синий игрок может заменить 10 синими жетонами или красный игрок может заменить 2 синими жетонами. жетоны.

Температура компонента {10|2} равна ½(10 − 2) = 4, а температура компонента {5|−5} равна 5. Это говорит о том, что каждый игрок должен предпочитать играть в {5|− 5} компонент. Действительно, лучший первый ход для красного игрока — заменить {5|−5} на −5, после чего синий игрок заменяет {10|2} на 10, оставляя в общей сложности 5; если бы вместо этого красный игрок переместился в более холодный компонент {10|2}, конечная позиция была бы 2 + 5 = 7, что хуже для красного. Аналогично, лучший первый ход для синего игрока также будет в более горячем компоненте, от {5|-5} до 5, даже несмотря на то, что перемещение в компоненте {10|2} приносит больше синих жетонов в краткосрочной перспективе.

Фыркать

В игре Snort красные и синие игроки по очереди раскрашивают вершины графа с тем ограничением, что две вершины, соединенные ребром, не могут быть окрашены по-разному. Как обычно, победителем становится игрок, последним сделавший правильный ход. Поскольку ходы игрока улучшают его позицию за счет эффективного резервирования соседних вершин только для него, позиции в Snort обычно очень горячие. Напротив, в близкой игре Col , где соседние вершины могут иметь разный цвет, позиции обычно холодные.

Приложения

Теория горячих игр нашла некоторое применение при анализе стратегии эндшпиля в го . ^[2]^[3]

См. также

Доминирование , еще одна игра, в которой возникают горячие позиции.
Охлаждение и нагрев (комбинаторная теория игр) — операции, позволяющие сделать горячие игры пригодными для того же типа анализа, что и холодные игры.

Ссылки

^ «Жизнь игр |» . Mathenchant.wordpress.com. 12 августа 2015 г. Проверено 9 января 2019 г.
^ Берлекамп, Элвин ; Вулф, Дэвид (1997). Математический ход: охлаждение достигает последней точки . АК Питерс Лтд. ISBN 1-56881-032-6 .
^ Библиография приведена в Conway 2001 , p. 108

Берлекамп, Элвин П .; Конвей, Джон Х .; Гай, Ричард К. (1982). Пути победы . Том. 1 (1-е изд.). Нью-Йорк : Академическая пресса . ISBN 0-12-091150-7 .
Конвей, Джон Х. (2001). О числах и играх (2-е изд.). АК Петерс, ООО, стр. 101–108. ISBN 1-56881-127-6 .

[1] «Жизнь игр |» . Mathenchant.wordpress.com. 12 августа 2015 г. Проверено 9 января 2019 г.

[2] Берлекамп, Элвин ; Вулф, Дэвид (1997). Математический ход: охлаждение достигает последней точки . АК Питерс Лтд. ISBN 1-56881-032-6 .

[3] Библиография приведена в Conway 2001 , p. 108

[1]

[2]

[3]