Охлаждение и нагрев (комбинаторная теория игр)

В комбинаторной теории игр охлаждение , нагрев и перегрев — это операции над горячими играми , которые делают их более поддающимися традиционным методам теории.который изначально был разработан для холодных игр , в которых победителем становится последний игрок, сделавший правильный ход. Перегрев был обобщен Элвином Берлекэмпом для анализа блокбастеров . Охлаждение (или разогрев ) и разогрев — варианты, используемые при анализе эндшпиля Го .

Охлаждение и охлаждение можно рассматривать как налог на игрока, который движется, заставляя его платить за привилегию делать это.в то время как нагрев, согревание и перегрев представляют собой операции, которые в большей или меньшей степени меняют местами охлаждение и охлаждение.

Основные операции: охлаждение, обогрев.

Охлаждённая ​ игра $G_{t}$ (« $G$ охлаждается $t$") для игры $G$ и (сюрреалистическое) число $t$ определяется

$G_{t}={\begin{cases}\{G_{t}^{L}-t\mid G_{t}^{R}+t\}&{\text{ for all numbers }}t\leq {\text{ any number }}\tau {\text{ for which }}G_{\tau }{\text{ is infinitesimally close to some number }}m{\text{ , }}\\m&{\text{ for }}t>\tau \end{cases}}$.

Количество $t$ посредством чего $G$ охлаждается, называется температурой ; минимум $\tau$ для чего $G_{\tau }$ бесконечно близко к $m$ известна как температура $t(G)$ из $G$; $G$ говорят, замерзает что $G_{\tau }$; $m$ среднее значение (или просто среднее значение ) $G$.

Нагрев является обратным процессу охлаждения и определяется как « интегральный ».

$\int ^{t}G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is a number, }}\\\{\int ^{t}(G^{L})+t\mid \int ^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

Умножение и перегрев

Умножение Нортона — это расширение умножения в игре. $G$ и позитивная игра $U$ («единица»)определяется

$G.U={\begin{cases}G\times U&{\text{ (i.e. the sum of }}G{\text{ copies of }}U{\text{) if }}G{\text{ is a non-negative integer, }}\\-G\times -U&{\text{ if }}G{\text{ is a negative integer, }}\\\{G^{L}.U+(U+I)\mid G^{R}.U-(U+I)\}{\text{ where }}I{\text{ ranges over }}\Delta (U)&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

Стимулы $\Delta (U)$ игры $U$ определяются как $\{u-U:u\in U^{L}\}\cup \{U-u:u\in U^{R}\}$.

Перегрев — это продолжение нагрева, используемого в решении Берлекэмпа по блокбастеру .где $G$ перегрелся от $s$ к $t$ определяется для произвольных игр $G,s,t$ с $s>0$ как

$\int _{s}^{t}G={\begin{cases}G.s&{\text{ if }}G{\text{ is an integer, }}\\\{\int _{s}^{t}(G^{L})+t\mid \int _{s}^{t}(G^{R})-t\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$

Winning Ways также определяет перегрев игры. $G$ благодаря позитивной игре $X$, как

$\int _{0}^{t}G=\left\{\int _{0}^{t}(G^{L})+X\mid \int _{0}^{t}(G^{R})-X\right\}$

Обратите внимание, что в этом определении числа не отличаются от произвольных игр.

Обратите внимание, что «нижняя граница» 0 отличает это от предыдущего определения Берлекампа.

Операции для Go: охлаждение и нагревание

Охлаждение – вариант охлаждения $1$ используется для анализа эндшпиля Го в Го и определяется как

$f(G)={\begin{cases}m&{\text{ if }}G{\text{ is of the form }}m{\text{ or }}m*,\\\{f(G^{L})-1\mid f(G^{R})+1\}&{\text{ otherwise.}}\end{cases}}$

Это эквивалентно охлаждению $1$ когда $G$ это «даже элементарная позиция Го в канонической форме».

Потепление является частным случаем перегрева, а именно $\int _{1*}^{1}$, обычно записывается просто как $\int$ который инвертирует охлаждение, когда $G$ это «даже элементарная позиция Го в канонической форме».В этом случае предыдущее определение упрощается до вида

$\int G={\begin{cases}G&{\text{ if }}G{\text{ is an even integer, }}\\G*&{\text{ if }}G{\text{ is an odd integer, }}\\\{\int (G^{L})+1\mid \int (G^{R})-1\}&{\text{ otherwise. }}\end{cases}}$