Экспоненциальная дихотомия

В математической теории динамических систем экспоненциальная дихотомия — свойство точки равновесия , распространяющее идею гиперболичности на неавтономные системы .

Определение

Если

${\dot {\mathbf {x} }}=A(t)\mathbf {x}$

является линейной неавтономной динамической системой в R ^н с матрицей фундаментального решения Φ( t ), Φ(0) = I точка равновесия 0 , то говорят, что имеет экспоненциальную дихотомию , если существует (постоянная) матрица P такая, что P ² = P и положительные константы K , L , α и β такие, что

$||\Phi (t)P\Phi ^{-1}(s)||\leq Ke^{-\alpha (t-s)}{\mbox{ for }}s\leq t<\infty$

и

$||\Phi (t)(I-P)\Phi ^{-1}(s)||\leq Le^{-\beta (s-t)}{\mbox{ for }}s\geq t>-\infty .$

Если, кроме того, L = 1/ K и β = α, то 0 говорят, что имеет равномерную экспоненциальную дихотомию .

Константы α и β позволяют нам определить спектральное окно точки равновесия (−α, β).

Объяснение

Матрица P является проекцией на стабильное подпространство, а I − P — проекция на нестабильное подпространство. Экспоненциальная дихотомия говорит о том, что норма проекции на устойчивое подпространство любой орбиты в системе убывает экспоненциально при t → ∞, а норма проекции на нестабильное подпространство любой орбиты убывает экспоненциально при t → −∞, и более того, стабильное и нестабильное подпространства сопряжены (поскольку $\scriptstyle P\oplus (I-P)=\mathbb {R} ^{n}$).

Точка равновесия с экспоненциальной дихотомией обладает многими свойствами гиперболической точки равновесия в автономных системах . Фактически можно показать, что гиперболическая точка имеет экспоненциальную дихотомию.

Ссылки

• Коппель, В.А. Дихотомии в теории устойчивости , Springer-Verlag (1978), ISBN   978-3-540-08536-2 два : 10.1007/BFb0067780