Слабо зависимые случайные величины

В теории вероятности слабая зависимость случайных величин является более слабым обобщением независимости , чем понятие мартингала. . (временных) Последовательность является случайных величин слабо зависимой, если отдельные части последовательности имеют ковариацию , которая асимптотически уменьшается до 0 по мере дальнейшего разделения блоков во времени. Слабая зависимость выступает прежде всего как техническое условие в различных вероятностных предельных теоремах .

Формальное определение

Зафиксируйте набор S , последовательность наборов измеримых функций. $\{{\mathcal {F}}_{d}\}_{d=1}^{\infty }\in \prod _{d=1}^{\infty }{\left(S^{d}\to \mathbb {R} \right)}$, убывающая последовательность $\{\theta _{\delta }\}_{\delta =1}^{\infty }\to 0$и функция $\psi \in {\mathcal {F}}^{2}\times (\mathbb {Z} ^{+})^{2}\to \mathbb {R} ^{+}$. Последовательность $\{X_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ случайных величин $(\{{\mathcal {F}}_{d}\}_{d=1}^{\infty },\{\theta _{\delta }\}_{\delta },\psi )$-слабо зависимый тогда и только тогда, для всех $j_{1}\leq j_{2}\leq \dots \leq j_{d}<j_{d}+\delta \leq k_{1}\leq k_{2}\leq \dots \leq k_{e}$, для всех $\phi \in {\mathcal {F}}_{d}$, и $\theta \in {\mathcal {F}}_{e}$, у нас есть

$|\operatorname {Cov} {(\phi (X_{j_{1}},\dots ,X_{j_{d}}),\theta (X_{k_{1}},\dots ,X_{k_{e}}))}|\leq \psi (\phi ,\theta ,d,e)\theta _{\delta }$

Обратите внимание, что ковариация не уменьшается до 0 равномерно по d и e .

Общие приложения

Слабая зависимость является достаточно слабым условием, которое демонстрируют многие естественные случаи случайных процессов. В частности, слабая зависимость является естественным условием эргодической теории случайных функций.

Достаточным заменителем независимости в центральной предельной теореме Линдеберга – Леви является слабая зависимость. По этой причине в вероятностной литературе часто появляются специализации по предельным теоремам. К ним относятся условие Уизерса сильного перемешивания, «Абсолютная регулярность Трана в локально транзитивном смысле». и «асимптотическая независимость квадранта» Биркеля.

Слабая зависимость также функционирует как замена сильному перемешиванию . Опять же, обобщения последнего являются специализацией первого; примером является Розенблатта . условие смешивания

Другие применения включают обобщение неравенства Марцинкевича-Зигмунда и неравенств Розенталя .

Мартингалы слабо зависимы , поэтому многие результаты о мартингалах справедливы и для слабозависимых последовательностей. Примером является ограничение Бернштейна на более высокие моменты , которое можно ослабить, потребовав только

${\begin{aligned}\operatorname {E} \left[X_{i}\mid X_{1},\dots ,X_{i-1}\right]&=0,\\\operatorname {E} \left[X_{i}^{2}\mid X_{1},\dots ,X_{i-1}\right]&\leq R_{i}\operatorname {E} \left[X_{i}^{2}\right],\\\operatorname {E} \left[X_{i}^{k}\mid X_{1},\dots ,X_{i-1}\right]&\leq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {E} \left[X_{i}^{2}\mid X_{1},\dots ,X_{i-1}\right]L^{k-2}k!\end{aligned}}$

См. также

• Центральная предельная теорема
• Независимость случайных величин
• Мартингейл (теория вероятностей)

Внешние ссылки

• Пример, вдохновляющий на эту идею
• Приложение
• Статья об альтернативе слабой зависимости