Линейная вероятностная модель

В статистике линейная вероятностная модель (LPM) является частным случаем модели бинарной регрессии . Здесь зависимая переменная для каждого наблюдения принимает значения, равные 0 или 1. Вероятность наблюдения 0 или 1 в любом отдельном случае рассматривается как зависящая от одной или нескольких объясняющих переменных . Для «модели линейной вероятности» это соотношение особенно простое и позволяет аппроксимировать модель с помощью линейной регрессии .

Модель предполагает, что для бинарного результата ( испытание Бернулли ) $Y$и связанный с ним вектор независимых переменных, $X$,

$\Pr(Y=1|X=x)=x'\beta .$

Для этой модели

$E[Y|X]=0\cdot \Pr(Y=0|X)+1\cdot \Pr(Y=1|X)=\Pr(Y=1|X)=x'\beta ,$

и, следовательно, вектор параметров β можно оценить с помощью метода наименьших квадратов . Такой способ установки будет неэффективен, и может быть улучшено путем принятия итеративной схемы, основанной на взвешенных наименьших квадратах , в котором модель из предыдущей итерации используется для получения оценок условных отклонений, $\operatorname {Var} (Y|X=x)$, который будет варьироваться в зависимости от наблюдения. Этот подход может быть связан с подбором модели по максимальному правдоподобию .

Недостатком этой модели является то, что, если не наложены ограничения на $\beta$оценочные коэффициенты могут подразумевать вероятности вне единичного интервала $[0,1]$. такие модели, как логит-модель или пробит-модель По этой причине чаще используются .

Формулировка со скрытой переменной

Более формально, LPM может возникнуть из формулировки со скрытой переменной (обычно ее можно найти в литературе по эконометрике). ), следующим образом: предположим следующую модель регрессии со скрытой (ненаблюдаемой) зависимой переменной:

$y^{*}=b_{0}+\mathbf {x} '\mathbf {b} +\varepsilon ,\;\;\varepsilon \mid \mathbf {x} \sim U(-a,a).$

Критическим предположением здесь является то, что член ошибки этой регрессии представляет собой симметричную относительно нуля равномерную случайную величину и, следовательно, имеет нулевое среднее значение. Кумулятивная функция распределения $\varepsilon$ вот $F_{\varepsilon |\mathbf {x} }(\varepsilon \mid \mathbf {x} )={\frac {\varepsilon +a}{2a}}.$

Определите переменную индикатора $y=1$ если $y^{*}>0$, и ноль в противном случае, и рассмотрим условную вероятность

${\rm {Pr}}(y=1\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(y^{*}>0\mid \mathbf {x} )={\rm {Pr}}(b_{0}+\mathbf {x} '\mathbf {b} +\varepsilon >0\mid \mathbf {x} )$

$={\rm {Pr}}(\varepsilon >-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\rm {Pr}}(\varepsilon \leq -b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )$

$=1-F_{\varepsilon |\mathbf {x} }(-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} \mid \mathbf {x} )=1-{\frac {-b_{0}-\mathbf {x} '\mathbf {b} +a}{2a}}={\frac {b_{0}+a}{2a}}+{\frac {\mathbf {x} '\mathbf {b} }{2a}}.$

Но это модель линейной вероятности.

$P(y=1\mid \mathbf {x} )=\beta _{0}+\mathbf {x} '\beta$

с отображением

$\beta _{0}={\frac {b_{0}+a}{2a}},\;\;\beta ={\frac {\mathbf {b} }{2a}}.$

Этот метод является общим устройством для получения условно-вероятностной модели двоичной переменной: если мы предположим, что распределение члена ошибки является логистическим, мы получим логит-модель , а если мы предположим, что это нормальное распределение, мы получим пробит модель и, если предположить, что это логарифм распределения Вейбулла, дополнительная логарифмическая модель .

См. также

• Линейное приближение

Дальнейшее чтение

• Олдрич, Джон Х .; Нельсон, Форрест Д. (1984). «Модель линейной вероятности» . Модели линейной вероятности, логита и пробита . Мудрец. стр. 9–29. ISBN  0-8039-2133-0 .
• Амемия, Такеши (1985). «Модели качественного реагирования» . Продвинутая эконометрика . Оксфорд: Бэзил Блэквелл. стр. 267–359. ISBN  0-631-13345-3 .
• Вулдридж, Джеффри М. (2013). «Двоичная зависимая переменная: модель линейной вероятности». Вводная эконометрика: современный подход (5-е международное изд.). Мейсон, Огайо: Юго-Запад. стр. 238–243. ISBN  978-1-111-53439-4 .
• Хоррас, Уильям К. и Рональд Л. Оахака. «Результаты по смещению и несогласованности метода наименьших квадратов для модели линейной вероятности». Письма по экономике, 2006: Том. 90, С. 321–327.