Локальный инверсный

Локальная обратная — это своего рода обратная функция или обратная матрица, используемая при обработке изображений и сигналов, а также в других общих областях математики.

Идея локальной инверсии возникла в результате внутренней реконструкции КТ. изображения. Один метод внутренней реконструкции сначала приблизительно реконструирует изображение за пределами ROI (области интереса), а затем вычитает данные повторного проецирования изображения за пределами ROI из исходных данных проекции; затем эти данные используются для создания новой реконструкции. Эту идею можно расширить до полной обратной. Вместо прямого обратного преобразования сначала можно инвертировать неизвестные за пределами локальной области. Пересчитайте данные этих неизвестных (за пределами локального региона), вычтите эти пересчитанные данные из оригинала, а затем выполните обратное преобразование внутри локального региона, используя эти вновь созданные данные для внешнего региона.

Эта концепция является прямым продолжением локальной томографии , обобщенных обратных и итерационных методов уточнения. Он используется для решения обратной задачи при неполных входных данных аналогично локальной томографии. Однако эту концепцию локальной инверсии можно также применить к полным входным данным.

Локальная инверсия для системы полного поля зрения или переопределенной системы

${\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$

Предположим, есть $E$, $F$, $G$ и $H$ которые удовлетворяют

${\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}=J.$

Здесь $J$ не равен $I$, но $J$ близко к $I$, где $I$ является единичной матрицей. Примеры матриц типа ${\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}$ — это метод обратной проекции с фильтрацией для реконструкции изображения и обратный метод с регуляризацией. В этом случае следующее приближенное решение:

${\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}.$

Лучшее решение для $x_{1}$ можно найти следующим образом:

${\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}f-By_{0}\\g-Dy_{0}\end{bmatrix}}.$

В приведенной выше формуле $y_{1}$ бесполезно, поэтому

$x_{1}=E(f-By_{0})+F(g-Dy_{0}).$

Таким же образом существует

$y_{1}=G(f-Ax_{0})+H(g-Cx_{0}).$

В приведенном выше решении решение разделено на две части: $x$ внутри рентабельности инвестиций и $y$ находится за пределами области интереса, f внутри поля зрения (поля зрения) и g вне поля зрения.

Эти две части могут быть расширены на множество частей, и в этом случае расширенный метод называется методом итеративного уточнения подобласти.

Локальная инверсия для системы с ограниченным полем зрения или недостаточно определенной системы

${\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.$

Предполагать $A$, $B$, $C$, и $D$ – известные матрицы; $x$ и $y$ являются неизвестными векторами; $f$ – известный вектор; $g$ — неизвестный вектор. Нас интересует определение х. Что такое хорошее решение?

Предположим, что существует обратная приведенной выше матрице.

${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}}=J.$

Здесь $J$ есть или близок к $I$. Локальный обратный алгоритм выглядит следующим образом:

(1) $g_{ex}$. Экстраполированная версия $g$ получается путем

$g_{ex}|_{\partial G}=f|_{\partial F}.$

(2) $y_{0}$. Приблизительная версия $y$ рассчитывается по

$y_{0}=Hg_{ex}.$

(3) $y'$. Поправка на $y$ делается

$y'=y_{0}+y_{\text{co}}.$

(4) $f'$. Исправленная функция для $f$ рассчитывается по

$f'=f-By'.$

(5) $g_{1ex}$. Экстраполированная функция для $g$ получается путем

$g_{1ex}|_{\partial G}=f'|_{\partial F}.$

(6) $x_{1}$. Получено локальное обратное решение

$x_{1}=Ef'+Fg_{1ex}.$

В приведенном выше алгоритме есть две временные экстраполяции для $g$ которые используются для решения проблемы усечения данных. Есть поправка на $y$. Эта коррекция может быть постоянной коррекцией для коррекции значений постоянного тока $y$ или линейная поправка в соответствии с предварительным знанием о $y$. Этот алгоритм можно найти в следующей ссылке:.

В примере ссылки обнаружено, что $y'=y_{0}+y_{\text{co}}=ky_{0}$, здесь $k=1.04$ производится постоянная коррекция. Можно выполнить более сложную коррекцию, например линейную коррекцию, которая может привести к лучшим результатам.

A^+ B близко к 0

Шуан-жэнь Чжао определил локальную инверсию. для решения вышеуказанной проблемы. Сначала рассмотрим самое простое решение

$f=Ax+By,$

или

$Ax=f-By=f'.$

Здесь $f'=f-By$ – это корректные данные, в которых нет влияния функции внешнего объекта. Из этих данных легко получить правильное решение,

$x'=A^{-1}f'.$

Здесь $x'$ является правильным (или точным) решением неизвестного $x$, что означает $x'=x$. В случае, если $A$ не является квадратной матрицей или не имеет обратной, можно применить обобщенную обратную матрицу,

$x'=A^{+}(f-By)=A^{+}f'.$

С $y$ неизвестно, установлено ли оно в $0$, получено приближенное решение.

$x_{0}=A^{+}f.$

В приведенном выше решении результат $x_{0}$ относится к неизвестному вектору $y$. С $y$ может иметь любое значение результата $x_{0}$ имеет очень сильные артефакты, а именно

$\mathrm {error} _{0}=|x_{0}-x'|=|A^{+}By|$.

Подобные артефакты в области реконструкции компьютерных изображений называются артефактами усечения. Чтобы минимизировать указанные выше артефакты в решении, используется специальная матрица $Q$ считается, что удовлетворяет

$QB=0,$

и таким образом удовлетворяет

$QAx=Qf-QBy=Qf.$

Решение приведенного выше уравнения с помощью обобщенного обратного дает

$x_{1}=[QA]^{+}Qf=[A]^{+}Q^{+}Qf.$

Здесь $Q^{+}$ является обобщенной инверсией $Q$, и $x_{1}$ это решение для $x$. Легко найти матрицу Q, удовлетворяющую условию $QB=0$, конкретно $Q$ можно записать следующим образом:

$Q=I-BB^{+}.$

Эта матрица $Q$ называется поперечной проекцией $B$, и $B^{+}$ является обобщенной инверсией $B$. Матрица $B^{+}$ удовлетворяет

$BB^{+}B=B,$

из чего следует, что

$QB=[I-BB^{+}]B=B-BB^{+}B=B-B=0.$

Легко доказать, что $QQ=Q$:

${\begin{aligned}QQ&=[I-BB^{+}][I-BB^{+}]=I-2BB^{+}+BB^{+}BB^{+}\\&=I-2BB^{+}+BB^{+}=I-BB^{+}=Q,\end{aligned}}$

и, следовательно,

$QQQ=(QQ)Q=QQ=Q.$

Следовательно, Q также является обобщенной инверсией Q

Это означает

$Q^{+}Q=QQ=Q.$

Следовательно,

$x_{1}=A^{+}[Q]^{+}Qf=A^{+}Qf$

или

$x_{1}=[A]^{+}[I-BB^{+}]f.$

Матрица

$A^{L}=[A]^{+}[I-BB^{+}]$

называется локальной обратной матрицей ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.$ Использование локальной инверсии вместо обобщенной инверсии или инверсии позволяет избежать артефактов из-за неизвестных входных данных. Учитывая,

$[A]^{+}[I-BB^{+}]f'=[A]^{+}[I-BB^{+}](f-By)=[A]^{+}[I-BB^{+}]f.$

Следовательно, существует

$x_{1}=[A]^{+}[I-BB^{+}]f'.$

Следовательно $x_{1}$ связано только с правильными данными $f'$. Ошибка такого рода может быть рассчитана как

$\mathrm {error} _{1}=|x_{1}-x'|=|[A]^{+}BB^{+}f'|.$

Подобная ошибка называется эффектом чаши. Эффект чаши не связан с неизвестным объектом $y$, это связано только с правильными данными $f'$.

В случае, если вклад $[A]^{+}BB^{+}f'$ к $x$ меньше, чем у $[A]^{+}By$, или

$\mathrm {error} _{1}\ll \mathrm {error} _{0},$

локальное обратное решение $x_{1}$ лучше, чем $x_{0}$ для такого рода обратной задачи. С использованием $x_{1}$ вместо $x_{0}$, артефакты усечения заменяются эффектом чаши. Этот результат тот же, что и в локальной томографии , следовательно, локальный обратный результат является прямым расширением концепции локальной томографии.

Хорошо известно, что решением обобщенного обратного является метод минимальной нормы L2. Из приведенного выше вывода ясно, что решение локального обратного метода является методом минимальной нормы L2 при условии, что влияние неизвестного объекта $y$ является $0$. Следовательно, локальная инверсия также является прямым расширением концепции обобщенной инверсии.

См. также

• Формулировка гипотезы якобиана
• Реконструкция внутренних изображений компьютерной томографии
• внутренняя реконструкция
• экстраполяция
• обратная матрица
• обобщенный обратный
• итеративное уточнение
• Локальная томография