Реконструкция интерьера

В реконструкции цифровых изображений итеративной внутренняя реконструкция (также известная как реконструкция ограниченного поля зрения (LFV) ) — это метод коррекции артефактов усечения, вызванных ограничением данных изображения небольшим полем зрения . Реконструкция фокусируется на области, известной как область интереса (ROI). Хотя внутреннюю реконструкцию можно применять к КТ- изображениям зубов или сердца, эта концепция не ограничивается КТ. Применяется одним из нескольких методов.

Методы

Цель каждого метода — найти вектор $x$ в следующей задаче:

{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}.

Позволять $X$ быть областью интереса (ROI) и $Y$ быть регионом за пределами $X$ . Предполагать $A$ , $B$ , $C$ , $D$ – известные матрицы; $x$ и $y$ являются неизвестными векторами исходного изображения, а $f$ и $g$ являются векторными измерениями ответов ( $f$ известно и $g$ неизвестно). $x$ находится внутри региона $X$ , ( $x\in X$ ) и $y$ , в регионе $Y$ , ( $y\in Y$ ), находится за пределами региона $X$ . $f$ находится внутри области измерения, соответствующей $X$ . Этот регион обозначается как $F$ , ( $f\in F$ ), пока $g$ находится за пределами региона $F$ . Это соответствует $Y$ и обозначается как $G$ , ( $g\in G$ ).

Для целей реконструкции КТ-изображений $C=0$ .

Для упрощения концепции внутренней реконструкции матрицы $A$ , $B$ , $C$ , $D$ применяются для реконструкции изображений вместо сложных операторов .

Первый метод внутренней реконструкции, указанный ниже, — это экстраполяция . Это метод локальной томографии, который устраняет артефакты усечения, но вводит другой тип артефактов: эффект чаши. Улучшение известно как метод адаптивной экстраполяции, хотя приведенный ниже метод итеративной экстраполяции также улучшает результаты реконструкции. В некоторых случаях точную реконструкцию можно найти и для внутренней реконструкции. Приведенный ниже локальный обратный метод модифицирует метод локальной томографии и может улучшить результат реконструкции локальной томографии; метод итеративной реконструкции можно применить к реконструкции интерьера. Среди вышеперечисленных методов часто применяется экстраполяция.

Метод экстраполяции

{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}

$A$ , $B$ , $C$ , $D$ – известные матрицы; $x$ и $y$ являются неизвестными векторами; $f$ является известным вектором, и $g$ — неизвестный вектор. Нам нужно знать вектор $x$ . $x$ и $y$ являются исходным изображением, а $f$ и $g$ являются измерениями ответов. Вектор $x$ находится внутри области интереса $X$ , ( $x\in X$ ). Вектор $y$ находится за пределами региона $X$ . Внешняя область называется $Y$ , ( $y\in Y$ ) и $f$ находится внутри области измерения, соответствующей $X$ . Этот регион обозначается $F$ , ( $f\in F$ ). Область вектора $g$ (за пределами региона $F$ ) также соответствует $Y$ и обозначается как $G$ , ( $g\in G$ ). При реконструкции КТ-изображений он имеет

C=0

Для упрощения концепции внутренней реконструкции матрицы $A$ , $B$ , $C$ , $D$ применяются для реконструкции изображения вместо комплексного оператора.

Реакция во внешнем регионе может быть лишь предположением. $G$ ; например, предположим, что это $g_{ex}$

{\begin{bmatrix}x_{0}\\y_{0}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{ex}\end{bmatrix}}

Восемь просмотров изображения — а) Фантом головы Шеппа-Логана б) Обрезка фантома в) Реконструкция без экстраполяции г) Реконструкция с постоянной, (д) квадратичной и (е) смешанной экстраполяцией

Решение $x$ написано как $x_{0}$ и известен как метод экстраполяции. Результат зависит от того, насколько хороша функция экстраполяции $g_{ex}$ является. Частый выбор –

g_{ex}|_{\partial G}=f|_{\partial F}

на границе двух регионов. ^[1]^[2]^[3]^[4] Метод экстраполяции часто сочетается с априорными знаниями. ^[5]^[6] а метод экстраполяции, сокращающий время расчета, показан ниже.

Метод адаптивной экстраполяции

Предположим грубое решение, $x_{0}$ и $y_{0}$ , получается описанным выше методом экстраполяции. Реакция во внешнем регионе $g_{1}$ можно рассчитать следующим образом:

g_{1}=Cx_{0}+Dy_{0}

Восстановленное изображение можно рассчитать следующим образом:

{\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g_{1}+g_{1ex}\end{bmatrix}}

Предполагается, что

f|_{\partial F}=(g_{1}+g_{1ex})|_{\partial G}

на границе внутренней области; $x_{1}$ решает проблему и известен как метод адаптивной экстраполяции. $g_{1ex}$ – адаптивная функция экстраполяции. ^[7]^[8]^[9]^[10]^[5]

Итерационный метод экстраполяции

Предполагается, что грубое решение $x_{0}$ и $y_{0}$ , получается методом экстраполяции, описанным ниже:

{\begin{bmatrix}f_{1}\\g_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0\\y_{0}\end{bmatrix}}

или

f_{1}=By_{0}

Реконструкцию можно получить как

{\begin{bmatrix}x_{1}\\y_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f-f_{1}\\g_{ex}\end{bmatrix}}

Здесь $g_{1ex}$ является экстраполяционной функцией, и предполагается, что

(f-f_{1})|_{\partial F}=g_{1ex}|_{\partial G}

$x_{1}$ является одним из решений этой проблемы. ^[11]

Локальная томография

Локальная томография с очень коротким фильтром также известна как лямбда-томография. ^[12]^[13]

Локальный обратный метод

Локальный инверсный метод расширяет концепцию локальной томографии. Реакция во внешнем регионе может быть рассчитана следующим образом:

f=Ax+By

Рассмотрим обобщенное обратное $B^{+}$ удовлетворяющий

BB^{+}B=B

Определять

Q=[I-BB^{+}]

так что

QB=0

Следовательно,

Qf=QAx

Приведенное выше уравнение можно решить как

x_{1}=A^{+}Q^{+}Qf

,

учитывая, что

QQ=Q

QQQ=Q

$Q$ является обобщенной инверсией $Q$ , то есть

Q^{+}=Q

Решение можно упростить так

x_{1}=A^{+}Qf

.

Матрица $A^{+}Q=A^{+}[I-BB^{+}]$ известен как локальная обратная матрица ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\\\end{bmatrix}}$ , соответствующий $A$ . Это известно как локальный обратный метод. ^[11]

Итерационный метод реконструкции

Здесь определяется целевая функция, и этот метод итеративно достигает цели. Если целевая функция может быть нормальной, это называется методом минимальной нормы.

\min(R\|x\|+S\|y\|+T\|g\|)

,

при условии

{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix}f\\g\end{bmatrix}}

и $f$ известно,

где $R$ , $S$ и $T$ являются весовыми константами минимизации и $\|\cdot \|$ это какая-то норма . Часто используемые нормы $L_{0}$ , $L_{1}$ , $L_{2}$ , $L_{+\infty }$ общая вариационная (ТВ) норма или сочетание вышеуказанных норм. Примером этого метода является метод проекции на выпуклые множества (POCS). ^[14] ^[15]

Аналитическое решение

В особых ситуациях реконструкция интерьера может быть получена как аналитическое решение; решение $x$ точно в таких случаях. ^[16]^[17]^[18]

Быстрая экстраполяция

Экстраполированные данные часто свертываются в функцию ядра . После экстраполяции данных их размер увеличивается в N раз, где N = 2 ~ 3. Если данные необходимо свернуть до известной функции ядра, численные вычисления увеличат log( N ) · N раз, даже при использовании быстрого преобразования Фурье. (БПФ). Существует алгоритм , аналитически рассчитывающий вклад части экстраполированных данных. Время расчета может быть опущено по сравнению с исходным расчетом свертки; с помощью этого алгоритма расчет свертки с использованием экстраполированных данных заметно не увеличивается. Это известно как быстрая экстраполяция. ^[19]

Сравнение методов

Метод экстраполяции подходит в ситуации, когда

|x|>|y|

и

|X|>|Y|

т.е. небольшая ситуация с артефактами усечения.

Метод адаптивной экстраполяции подходит для ситуации, когда

|x|\sim |y|

и

|X|\sim |Y|

т.е. обычная ситуация с артефактами усечения. Этот метод также предлагает грубое решение для внешней области.

Итерационный метод экстраполяции подходит для ситуации, когда

|x|\sim |y|

и

|X|\sim |Y|

т.е. обычная ситуация с артефактами усечения. Хотя этот метод обеспечивает лучшую внутреннюю реконструкцию по сравнению с адаптивной реконструкцией, он не дает результата во внешней области.

Локальная томография подходит для ситуации, когда

|x|\ll |y|

и

|X|\ll |Y|

т.е. ситуация с наибольшими артефактами усечения. Хотя в этом методе нет артефактов усечения, существует фиксированная ошибка (независимая от значения

|y|

) в реконструкции.

Локальный инверсный метод, идентичный локальной томографии, подходит в ситуации, когда

|x|\ll |y|

и

|X|\ll |Y|

т.е. ситуация с наибольшими артефактами усечения. Хотя для этого метода нет артефактов усечения, существует фиксированная ошибка (независимая от значения

|y|

) при реконструкции, которая может быть меньше, чем при локальной томографии.

Метод итерационной реконструкции дает хороший результат при больших вычислениях. Хотя аналитический метод дает точный результат, он функционален только в некоторых ситуациях. Метод быстрой экстраполяции может дать те же результаты, что и другие методы экстраполяции, и может применяться к вышеупомянутым методам внутренней реконструкции для сокращения вычислений.

См. также

Примечания

^ М. М. Сегер, Реализация Rampfilter на усеченных данных проекции. Приложение к 3D-линейной томографии каротажных диаграмм, Труды SSAB02, Симпозиум по анализу изображений, Лунд, Швеция, 7–8 марта 2002 г. Редактор Astrom.
^ Ф. Рашид-Фаррохи, К. Дж. Р. Лю, К. А. Беренштейн и Д. Уолнат, Локальная томография с несколькими разрешениями на основе вейвлетов, Транзакции IEEE по обработке изображений 6 (1997), 1412–1430.
^ М. Нильссон, Краткий обзор локальной томографии, лиценциатские диссертации по математическим наукам 2003:3 ISSN 1404-028X , ISBN 91-628-5741-X , LUTFMA-2007-2003. Напечатано в Швеции компанией KFS AB Lund, 2003 г.
^ PS Чо, А.Д. Радд и Р.Х. Джонсон, Конусно-лучевая КТ на основе усеченных по ширине проекций, Компьютерная медицинская визуализация и графика 20 (1) (1996), 49–57, 49–57.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дж. Се, Э. Чао, Дж. Тибо, Б. Грекович, А. Хорст, С. Маколаш и Т. Дж. Майерс, Новый алгоритм реконструкции для расширить поле зрения компьютерной томографии, Medical Phys 31 (2004), 2385–2391.
^ К. Дж. Ручала, Г. Х. Оливера, Дж. М. Капатоес, П. Дж. Реквердт и Т. Р. Мак, Методы улучшения реконструкций лучевой терапии с ограниченным полем зрения с использованием несовершенных априорных изображений, Med Phys 29 (2002), 2590–2605.
^ М. Насси, В. Р. Броуди, Б. П. Медофф и А. Маковски, Итеративное перепроецирование реконструкции: алгоритм для ограниченных данных сердечного вычисления томография, IEEE trans Biomed Engineering 295 (1982), 333–340.
^ Дж. Х. Ким, К. К. КВАК, С. Б. Пак и З. Х. Чо, Повторное проецирование реконструкции итерационной реконструкции проекционного пространства, IEEE-транзакция по медицинской визуализации 4 (1983), 139–143.
^ PSCho, А.Д. Радд и Р.Х. Джонсон, Conebeam КТ из усеченных по ширине проекций Компьютеризированная медицинская визуализация и Графика 20 (1996), 49–57.
^ Б. Онезорге, Т. Флор, К. Шварц, Дж. П. Хейкен и К. Т. Бэй, 2000 г. Эффективная коррекция артефактов КТ-изображений, вызванных объектами, выходящими за пределы поля зрения сканирования, Med Phys 27, 39–46.
^ Перейти обратно: ^а ^б Шуанжэнь Чжао, Кан Ян, Дазонг Цзян, Синтие Ян, Реконструкция интерьера с использованием локальной инверсии , J Xray Sci Technol . 2011 г.; 19(1): 69-90
^ А. Фаридани, Э. Л. Ритман и К. Т. Смит, Локальная томография, SIAM J APPL MATH 52 (1992), 459–484.
^ А. Кацевич, 1999 Локальная томография с конусным лучом, SIAM J APPL MATH 59, 2224–2246.
^ Да. Янбо, Ю. 1 Хэнъён 2 и ГэВан, Точная внутренняя реконструкция с усечённого ограниченного ракурса Проекция Данные, Международный журнал биомедицинской визуализации (2008), 1–6.
^ Л. Цзэн, Б. Лю, Л. Лю и К. Сян, Новый алгоритм итеративной реконструкции двумерной внешней веерной балки. CT, Журнал рентген Наука и технологии 18 (2010), 267–277.
^ Ю. Зоу и X. Пан, 2004, Точная реконструкция изображения по PIlines из минимальных данных в винтовом конусе КТ, Физика доктор медицины и биологии 49 (6), 941–959.
^ М. Дефриз, Ф. Ноо, Р. Клакдойл и Х. Кудо, Усеченное преобразование Гильберта и реконструкция изображений на основе ограниченных томографических данных. IOPscience.iop.org, 2006 г.
^ Ф. Ноо, Р. Клакдойл и Джей Ди Пак, Тустеп Метод преобразования Гильберта для реконструкции 2D-изображений, Phys Med Biol 49 (2004), 3903–3923.
^ С. Чжао, К. Ян, X Ян, Реконструкция по усеченным проекциям с использованием смешанной экстраполяции экспоненциальных и квадратичных функций, Журнал рентгеновской науки и технологий, 2011, 19 (2), стр. 155–72.

[1] М. М. Сегер, Реализация Rampfilter на усеченных данных проекции. Приложение к 3D-линейной томографии каротажных диаграмм, Труды SSAB02, Симпозиум по анализу изображений, Лунд, Швеция, 7–8 марта 2002 г. Редактор Astrom.

[2] Ф. Рашид-Фаррохи, К. Дж. Р. Лю, К. А. Беренштейн и Д. Уолнат, Локальная томография с несколькими разрешениями на основе вейвлетов, Транзакции IEEE по обработке изображений 6 (1997), 1412–1430.

[3] М. Нильссон, Краткий обзор локальной томографии, лиценциатские диссертации по математическим наукам 2003:3 ISSN 1404-028X , ISBN 91-628-5741-X , LUTFMA-2007-2003. Напечатано в Швеции компанией KFS AB Lund, 2003 г.

[4] PS Чо, А.Д. Радд и Р.Х. Джонсон, Конусно-лучевая КТ на основе усеченных по ширине проекций, Компьютерная медицинская визуализация и графика 20 (1) (1996), 49–57, 49–57.

[ReferenceA-5] Перейти обратно: ^а ^б Дж. Се, Э. Чао, Дж. Тибо, Б. Грекович, А. Хорст, С. Маколаш и Т. Дж. Майерс, Новый алгоритм реконструкции для расширить поле зрения компьютерной томографии, Medical Phys 31 (2004), 2385–2391.

[6] К. Дж. Ручала, Г. Х. Оливера, Дж. М. Капатоес, П. Дж. Реквердт и Т. Р. Мак, Методы улучшения реконструкций лучевой терапии с ограниченным полем зрения с использованием несовершенных априорных изображений, Med Phys 29 (2002), 2590–2605.

[7] М. Насси, В. Р. Броуди, Б. П. Медофф и А. Маковски, Итеративное перепроецирование реконструкции: алгоритм для ограниченных данных сердечного вычисления томография, IEEE trans Biomed Engineering 295 (1982), 333–340.

[8] Дж. Х. Ким, К. К. КВАК, С. Б. Пак и З. Х. Чо, Повторное проецирование реконструкции итерационной реконструкции проекционного пространства, IEEE-транзакция по медицинской визуализации 4 (1983), 139–143.

[9] PSCho, А.Д. Радд и Р.Х. Джонсон, Conebeam КТ из усеченных по ширине проекций Компьютеризированная медицинская визуализация и Графика 20 (1996), 49–57.

[10] Б. Онезорге, Т. Флор, К. Шварц, Дж. П. Хейкен и К. Т. Бэй, 2000 г. Эффективная коррекция артефактов КТ-изображений, вызванных объектами, выходящими за пределы поля зрения сканирования, Med Phys 27, 39–46.

[shuangrenZhao_2011-11] Перейти обратно: ^а ^б Шуанжэнь Чжао, Кан Ян, Дазонг Цзян, Синтие Ян, Реконструкция интерьера с использованием локальной инверсии , J Xray Sci Technol . 2011 г.; 19(1): 69-90

[12] А. Фаридани, Э. Л. Ритман и К. Т. Смит, Локальная томография, SIAM J APPL MATH 52 (1992), 459–484.

[13] А. Кацевич, 1999 Локальная томография с конусным лучом, SIAM J APPL MATH 59, 2224–2246.

[14] Да. Янбо, Ю. 1 Хэнъён 2 и ГэВан, Точная внутренняя реконструкция с усечённого ограниченного ракурса Проекция Данные, Международный журнал биомедицинской визуализации (2008), 1–6.

[15] Л. Цзэн, Б. Лю, Л. Лю и К. Сян, Новый алгоритм итеративной реконструкции двумерной внешней веерной балки. CT, Журнал рентген Наука и технологии 18 (2010), 267–277.

[16] Ю. Зоу и X. Пан, 2004, Точная реконструкция изображения по PIlines из минимальных данных в винтовом конусе КТ, Физика доктор медицины и биологии 49 (6), 941–959.

[17] М. Дефриз, Ф. Ноо, Р. Клакдойл и Х. Кудо, Усеченное преобразование Гильберта и реконструкция изображений на основе ограниченных томографических данных. IOPscience.iop.org, 2006 г.

[18] Ф. Ноо, Р. Клакдойл и Джей Ди Пак, Тустеп Метод преобразования Гильберта для реконструкции 2D-изображений, Phys Med Biol 49 (2004), 3903–3923.

[19] С. Чжао, К. Ян, X Ян, Реконструкция по усеченным проекциям с использованием смешанной экстраполяции экспоненциальных и квадратичных функций, Журнал рентгеновской науки и технологий, 2011, 19 (2), стр. 155–72.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]