Суперсингулярное разнообразие

В математике суперсингулярное многообразие гладкое проективное многообразие с ненулевой характеристикой такое, что для всех n все наклоны (обычно) представляет собой многоугольника Ньютона кристаллической n- й когомологии равны n /2 ( de Jong 2014 ). Для специальных классов многообразий, таких как эллиптические кривые, обычно используются различные специальные определения понятия «суперсингулярность», которые (обычно) эквивалентны приведенному выше.

Термин «сингулярная эллиптическая кривая» (или «сингулярный j -инвариант») одно время использовался для обозначения комплексных эллиптических кривых , кольцо эндоморфизмов которых имеет ранг 2, максимально возможный. Гельмут Хассе обнаружил, что в конечной характеристике эллиптические кривые могут иметь более крупные кольца эндоморфизмов ранга 4, и они были названы «суперсингулярными эллиптическими кривыми». Суперсингулярные эллиптические кривые также могут характеризоваться наклонами их кристаллических когомологий, а термин «суперсингулярные» позже был распространен на другие разновидности, когомологии которых обладают аналогичными свойствами. Термины «суперсингулярный» или «сингулярный» не означают, что многообразие имеет особенности.

Примеры включают в себя:

• Суперсингулярная эллиптическая кривая . Эллиптические кривые ненулевой характеристики с необычно большим кольцом эндоморфизмов ранга 4.
• Суперсингулярное абелево многообразие Иногда определяется как абелево многообразие, изогенное произведению суперсингулярных эллиптических кривых, а иногда определяется как абелево многообразие некоторого ранга g, кольцо эндоморфизмов которого имеет ранг (2 g ). ² .
• Суперсингулярная поверхность К3 . Некоторые поверхности К3 с ненулевой характеристикой.
• Суперсингулярная поверхность Энриквеса . Некоторые поверхности Энриквеса в характеристике 2.
• Поверхность называется суперсингулярной по Шиоде , если ранг ее группы Нерона–Севери равен ее второму числу Бетти.
• Поверхность называется суперсингулярной по Артину, если ее формальная группа Брауэра имеет бесконечную высоту.

Ссылки

• де Йонг (2014), гипотеза Сиоды