Суперсингулярная поверхность К3

В алгебраической геометрии суперсингулярная поверхность К3 — это поверхность К3 над полем k характеристики p кристаллических > 0 такая, что наклоны Фробениуса на когомологиях H ²( X , W ( k )) все равны 1. ^[1] Их также называют суперсингулярными поверхностями К3 Артина. Суперсингулярные поверхности К3 можно считать наиболее особенными и интересными из всех поверхностей К3.

Определения и основные результаты

В более общем смысле, гладкое проективное многообразие X над полем характеристики p > 0 называется суперсингулярным , если все наклоны Фробениуса на кристаллических когомологиях H ^а( X , W ( k )) равны a /2 для всех a . В частности, это дает стандартное понятиесуперсингулярного абелева многообразия . Для многообразия X над конечным полем F _q эквивалентно сказать, что собственные значения Фробениуса на l-адических когомологиях H ^а( X , Q _l ) равны q ^{а /2} времена корни единства. Отсюда следует, что любое многообразие положительной характеристики, l -адические когомологии которого порождены алгебраическими циклами, является суперсингулярным.

Поверхность К3, l -адические когомологии которой порождены алгебраическими циклами, иногда называют суперсингулярной поверхностью К3 Шиоды . Поскольку второе число Бетти поверхности K3 всегда равно 22, это свойство означает, что поверхность имеет 22 независимых элемента в группе Пикара (ρ = 22). Судя по сказанному, поверхность К3 с числом Пикара 22 должна быть суперсингулярной.

И наоборот, гипотеза Тейта будет означать, что каждая суперсингулярная поверхность K3 над алгебраически замкнутым полем имеет число Пикара 22. Теперь это известно для каждой характеристики p, кроме 2, поскольку гипотеза Тейта была доказана для всех поверхностей K3 в характеристике p не менее 3 следующим образом: Найгаард-Огус (1985) , Маулик (2014) , Чарльз (2013) и Мадапуси Пера (2013) .

Чтобы увидеть, что поверхности K3 с числом Пикара 22 существуют только в положительной характеристике, можно использовать теорию Ходжа, чтобы доказать, что число Пикара поверхности K3 в нулевой характеристике не превосходит 20. Фактически ромб Ходжа для любой комплексной поверхности K3 - это то же самое (см. классификацию ), а в средней строке читается 1, 20, 1. Другими словами, h ^2,0 и ч ^0,2 оба принимают значение 1, при этом h ^1,1 = 20. Следовательно, размерность пространства, натянутого на алгебраические циклы, не превосходит 20 в нулевой характеристике; поверхности с этим максимальным значением иногда называют особыми поверхностями К3 .

Другое явление, которое может иметь место только при положительной характеристике, состоит в том, что поверхность К3 может быть унирациональной . Майкл Артин заметил, что каждая унирациональная поверхность K3 над алгебраически замкнутым полем должна иметь число Пикара 22. (В частности, унирациональная поверхность K3 должна быть суперсингулярной.) И наоборот, Артин предположил, что каждая поверхность K3 с числом Пикара 22 должна быть унирациональной. ^[2] Гипотеза Артина была доказана в характеристике 2 Рудаковым и Шафаревичем (1978) . Доказательства по каждой характеристике p не менее 5 были заявлены Лидтке (2013) и Либлихом (2014) , но позже опровергнуты Брэггом и Либлихом (2022) .

История

Первый пример поверхности K3 с числом Пикара 22 был дан Тейтом (1965) , который заметил, что квартика Ферма

В ⁴ + х ⁴ + и ⁴ + я ⁴ = 0

имеет число Пикара 22 над алгебраически замкнутыми полями характеристики 3 по модулю 4. Затем Шиода показал, что эллиптическая модулярная поверхность уровня 4 (универсальная обобщенная эллиптическая кривая E (4) → X (4)) в характеристике 3 по модулю 4 является поверхностью К3 с числом Пикара 22, как и поверхность Куммера произведения двух суперсингулярных эллиптических кривых нечетной характеристики. Шимада ( 2004 , 2004b ) показал, что все поверхности К3 с числом Пикара 22 являются двойными покрытиями проективной плоскости . В случае характеристики 2 двойное покрытие может оказаться неотделимым .

Дискриминант степень на формы пересечения группе Пикара поверхности К3 с числом Пикара 22 представляет собой четную

п ^{2 е}

характеристики p , как показали Артин и Милн . Здесь e называется инвариантом Артина поверхности К3. Артин показал, что

1 ≤ и ≤ 10.

Существует соответствующая стратификация Артина пространств модулей суперсингулярных поверхностей K3, имеющих размерность 9. Подпространство суперсингулярных поверхностей K3 с инвариантом Артина e имеет размерность e − 1.

Примеры

В характеристике 2

С ² знак равно ж ( Икс , у ) ,

для достаточно общего многочлена f ( x , y ) степени 6 определяет поверхность с 21 изолированной особенностью. Гладкая проективная минимальная модель такой поверхности представляет собой унирациональную поверхность К3 и, следовательно, поверхность К3 с числом Пикара 22. Наибольший инвариант Артина здесь равен 10.

Аналогично в характеристике 3

С ³ знак равно г ( Икс , у ),

для достаточно общего многочлена g ( x , y ) степени 4 определяет поверхность с 9 изолированными особенностями. Гладкая проективная минимальная модель такой поверхности снова является унирациональной поверхностью K3 и, следовательно, поверхностью K3 с числом Пикара 22. Наивысший инвариант Артина в этом семействе равен 6.

Долгачев и Кондо (2003) подробно описали суперсингулярную поверхность K3 в характеристике 2 с номером Артина 1.

Поверхности Куммера

Если характеристика p больше 2, Огус (1979) показал, что каждая поверхность K3 S с числом Пикара 22 и инвариантом Артина не более 2 является поверхностью Куммера, что означает минимальное разрешение фактора абелевой поверхности A по отображению x ↦ - Икс . Точнее, A — суперсингулярная абелева поверхность, изогенная произведению двух суперсингулярных эллиптических кривых.

См. также

Примечания

^ М. Артин и Б. Мазур. Энн. наук. Высшая нормальная школа 10 (1977), 87–131. стр.90.
^ Мистер Артин. Энн. наук. Высшая нормальная школа 7 (1974), 543–567. С.552.

Ссылки

Артин, Майкл (1974), «Суперсингулярные поверхности K3» , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 7 : 543–567, MR 0371899
Брэгг, Дэниел; Либлих, Макс (2022), «Совершенные точки на кривых рода 1 и последствия для суперсингулярных поверхностей K3», Compositio Mathematica , 158 : 1052–1083, arXiv : 1904.04803 , doi : 10.1112/S0010437X22007382
Чарльз, Ф. (2013), «Гипотеза Тейта для поверхностей K3 над конечными полями», Inventiones Mathematicae , 194 : 119–145, arXiv : 1206.4002 , Bibcode : 2013InMat.194..119C , doi : 10.1007/s00222-012- 0443-у , МР 3103257
Долгачев И.; Кондо, С. (2003), «Суперсингулярная поверхность K3 в характеристике 2 и решетка Лича», Int. Математика. Рез. Нет. (1): 1–23, arXiv : math/0112283 , Bibcode : 2001math.....12283D , MR 1935564
Либлих, М. (2014), Об унирациональности суперсингулярных поверхностей K3 , arXiv : 1403.3073 , Bibcode : 2014arXiv1403.3073L
Лидтке, К. (2013), «Суперсингулярные поверхности K3 унирациональны», Inventiones Mathematicae , 200 : 979–1014, arXiv : 1304.5623 , Bibcode : 2015InMat.200..979L , doi : 10.1007/s00222-014-0547 -7
Лидтке, Кристиан (2016), «Лекции о суперсингулярных поверхностях K3 и кристаллической теореме Торелли», Поверхности K3 и их модули , Progress in Mathematics, vol. 315, Биркхаузер, стр. 171–235, arXiv : 1403.2538 , Бибкод : 2014arXiv1403.2538L
Мадапуси Пера, К. (2013), «Гипотеза Тейта для поверхностей K3 с нечетной характеристикой», Inventiones Mathematicae , 201 : 625–668, arXiv : 1301.6326 , Bibcode : 2013arXiv1301.6326M , doi : 10.1007/s00222-014-0 557- 5
Маулик, Д. (2014), «Суперсингулярные поверхности K3 для больших простых чисел», Duke Mathematical Journal , 163 : 2357–2425, arXiv : 1203.2889 , Bibcode : 2012arXiv1203.2889M , doi : 10.1215/00127094-2804783 , МР 3265555
Найгаард, Н.; Огус, А. (1985), «Гипотеза Тейта для поверхностей K3 конечной высоты», Annals of Mathematics , 122 : 461–507, doi : 10.2307/1971327 , JSTOR 1971327 , MR 0819555
Огус, Артур (1979), «Суперсингулярные кристаллы K3», Дни алгебраической геометрии в Ренне (Ренн, 1978), Vol. II , Астериск, том. 64, Париж: Математическое общество Франции , стр. 3–86, МР 0563467
Rudakov, A. N.; Shafarevich, Igor R. (1978), "Supersingular K3 surfaces over fields of characteristic 2", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 42 (4): 848–869, Bibcode : 1979IzMat..13..147R , doi : 10.1070/IM1979v013n01ABEH002016 , MR 0508830
Шимада, Ичиро (2004), «Суперсингулярные поверхности K3 в характеристике 2 как двойное покрытие проективной плоскости» (PDF) , The Asian Journal of Mathematics , 8 (3): 531–586, arXiv : math/0311073 , Bibcode : 2003math .....11073S , doi : 10.4310/ajm.2004.v8.n3.a8 , MR 2129248 , заархивировано из оригинала (PDF) 20 июля 2006 г.
Шимада, Ичиро (2004b), «Суперсингулярные поверхности K3 в нечетных характеристиках и секстических двойных плоскостях», Mathematische Annalen , 328 (3): 451–468, arXiv : math/0309451 , doi : 10.1007/s00208-003-0494-x , МР 2036331
Сиода, Тецудзи (1979), «Суперсингулярные поверхности K3», Алгебраическая геометрия (Proc. Summer Meeting, Univ. Copenhagen, Copenhagen, 1978) , Конспекты лекций по математике, том. 732, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 564–591, doi : 10.1007/BFb0066664 , MR 0555718.
Тейт, Джон Т. (1965), «Алгебраические циклы и полюса дзета-функций», Арифметическая алгебраическая геометрия (Proc. Conf. Purdue Univ., 1963) , Нью-Йорк: Harper & Row, стр. 93–110, MR 0225778

[1] М. Артин и Б. Мазур. Энн. наук. Высшая нормальная школа 10 (1977), 87–131. стр.90.

[2] Мистер Артин. Энн. наук. Высшая нормальная школа 7 (1974), 543–567. С.552.

[1]

[2]