Район Энрикес

В математике алгебраические поверхности Энриквеса — это поверхности такие, что неровность q = 0 и каноническое линейное расслоение K нетривиально, но имеет тривиальный квадрат. Все поверхности Энриквеса проективны (и, следовательно, кэлеровы над комплексными числами ) и являются поверхностями рода эллиптическими 0. Над полями характеристики , отличной от 2, они являются факторами поверхностей К3 по группе порядка действующей 2, без неподвижных точек, и их теория аналогична теории алгебраических поверхностей К3. Поверхности Энриквеса были впервые подробно изучены Энрикесом ( 1896 ) как ответ на вопрос, обсуждавшийся Кастельнуово (1895) , о том, является ли поверхность с q = p _g = 0 обязательно рациональной, хотя некоторые из конгруэнций Рейе, введенные ранее Реем ( 1882 ) также являются примерами поверхностей Энриквеса.

Поверхности Энриквеса также можно определять над другими полями. показал, что над полями характеристики, отличной от 2, Артин (1960) теория аналогична теории комплексных чисел. Для полей характеристики 2 определение модифицируется, и появляются два новых семейства, называемые сингулярными и суперсингулярными поверхностями Энриквеса, описанные Бомбьери и Мамфордом (1976) . Эти два дополнительных семейства связаны с двумя недискретными алгебраическими групповыми схемами порядка 2 в характеристике 2.

Инварианты комплексных поверхностей Энриквеса

Плюриродные n P _n равны 1, если n четное, и 0, если нечетное . Фундаментальная группа имеет порядок 2. Вторая группа когомологий H ² ( X , Z ) изоморфна сумме единственной четной унимодулярной решетки II _1,9 размерности 10 и сигнатуры -8 и группы порядка 2.

Ходж Даймонд:

		1
	0		0
0		10		0
	0		0
		1

Маркированные поверхности Энриквеса образуют связное 10-мерное семейство, которое, как показал Кондо (1994), является рациональным.

Характеристика 2

В характеристике 2 появилось несколько новых семейств поверхностей Энриквеса: иногда называемые квазиповерхностями Энриквеса , неклассическими поверхностями Энриквеса или (супер)сингулярными поверхностями Энриквеса . (Термин «сингулярный» не означает, что поверхность имеет особенности, а означает, что поверхность в некотором роде «особенная».) В характеристике 2 изменено определение поверхностей Энриквеса: они определяются как минимальные поверхности, канонический класс которых K численно эквивалентен 0, а второе число Бетти равно 10. (В характеристиках, отличных от 2, это эквивалентно обычному определению.) Теперь существует 3 семейства поверхностей Энриквеса:

• Классика: dim(H ¹ (O)) = 0. Отсюда следует, что 2 K = 0, но K не равен нулю и Pic ^т есть Z 2 Z. / Поверхность является фактором приведенной сингулярной поверхности Горенштейна по групповой схеме µ ₂ .
• Единственное число: dim(H ¹ (O)) = 1 и на него нетривиально действует эндоморфизм Фробениуса. Отсюда следует, что K = 0 и Pic ^т является μ ₂ . Поверхность является фактором поверхности К3 по групповой схеме Z/2Z.
• Суперединственное: dim(H ¹ (O)) = 1 и на него тривиально действует эндоморфизм Фробениуса. Отсюда следует, что K = 0 и Pic ^т является α ₂ . Поверхность является фактором приведенной сингулярной поверхности Горенштейна по групповой схеме α ₂ .

Все поверхности Энриквеса эллиптические или квазиэллиптические.

Примеры

• Конгруэнция Рейе — это семейство прямых, содержащихся как минимум в двух квадриках заданной трехмерной линейной системы квадрик в P ³ . Если линейная система является общей, то сравнение Рея является поверхностью Энриквеса. Они были найдены Рейе (1882) и могут быть самыми ранними примерами поверхностей Энрикеса.
• Возьмем поверхность степени 6 в трехмерном проективном пространстве с двойными линиями по краям тетраэдра , например:

$w^{2}x^{2}y^{2}+w^{2}x^{2}z^{2}+w^{2}y^{2}z^{2}+x^{2}y^{2}z^{2}+wxyzQ(w,x,y,z)=0$

для некоторого общего однородного полинома Q степени 2. Тогда его нормализация является поверхностью Энриквеса. Это семейство примеров, найденных Энрикесом (1896) .

• Фактор поверхности K3 по инволюции без неподвижных точек является поверхностью Энриквеса, и все поверхности Энриквеса в характеристике, отличной от 2, могут быть построены таким образом. Например, если S — поверхность K3 w ⁴ + х ⁴ + и ⁴ + я ⁴ = 0 и T — порядка 4, автоморфизм переводящий ( w , x , y , z ) в ( w , ix ,– y ,– iz ), тогда T ² имеет восемь неподвижных точек. Раздув эти восемь точек и возведя частное на T ² без неподвижных точек дает поверхность K3 с инволюцией T , и фактор ее по T является поверхностью Энриквеса. Альтернативно, поверхность Энриквеса может быть построена путем факторизации исходной поверхности по автоморфизму T порядка 4 и разрешения восьми особых точек фактора. Другой пример можно получить, взяв пересечение 3 квадрик формы P _i ( u , v , w ) + Q _i ( x , y , z ) = 0 и факторизировав инволюцию с учетом ( u : v : w : от x : y : z ) до (– x :– y :– z : u : v : w ). Для общих квадрик эта инволюция является инволюцией поверхности K3 без неподвижных точек, поэтому фактор является поверхностью Энриквеса.

См. также

• Список алгебраических поверхностей
• Классификация Энрикеса-Кодайры
• Суперсингулярное разнообразие

Ссылки

• Артин, Майкл (1960), О поверхностях Энриквеса , докторская диссертация, Гарвард
• Компактные сложные поверхности Вольфа П. Барта, Клауса Хулека, Криса А.М. Петерса, Антониуса Ван де Вена ISBN   3-540-00832-2 Это стандартный справочник по компактным сложным поверхностям.
• Бомбьери, Энрико ; Мамфорд, Дэвид (1976), «Классификация поверхностей Энрикеса в главе стр. III». (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 (1): 197–232, Bibcode : 1976InMat..35..197B , doi : 10.1007/BF01390138 , ISSN   0020-9910 , MR   0491720 , S2CID   122816845
• Кастельнуово, Г. (1895), «О поверхностях нулевого рода», Mem. Delle Ital Delle Scienze , Série III, 10 : 103–123.
• Коссек, Франсуа Р.; Долгачев, Игорь В. (1989), Поверхности Энриквеса. Я , Прогресс в математике, вып. 76, Бостон: Биркхойзер Бостон, ISBN  978-0-8176-3417-9 , МР   0986969
• Долгачев, Игорь В. (2016), Краткое введение в поверхности Энриквеса (PDF)
• Энрикес, Федериго (1896), «Введение в геометрию над алгебраическими поверхностями», Mem. Delle Scienze , 10 : 1–81.
• Энрикес, Федериго (1949), Le Superficie Algebrache (PDF) , Никола Заничелли, Болонья, MR   0031770
• Кондо, Сигэюки (1994), «Рациональность пространства модулей поверхностей Энриквеса», Compositio Mathematica , 91 (2): 159–173
• Рей, Т. (1882), Геометрия ситуации , Лейпциг: книжный магазин Baumgärtnerś.