Аксиальность и ромбичность

В физике и математике аксиальность и ромбичность — две характеристики симметричного второго ранга тензора в трёхмерном евклидовом пространстве , описывающие его направленную асимметрию.

Обозначим через A тензор второго ранга в R ³ 3х3 , который может быть представлен матрицей . Предположим, что A симметричен. Это означает, что A имеет три действительных собственных значения , которые мы обозначаем через $A_{xx}$, $A_{yy}$ и $A_{zz}$. Мы предполагаем, что они упорядочены так, что

$A_{xx}\leq A_{yy}\leq A_{zz}.$

Осевое положение A определяется выражением

$\Delta A=2A_{zz}-(A_{xx}+A_{yy}).\,$

Ромбичность — это разница между наименьшим и вторым по величине собственным значением:

$\delta A=A_{yy}-A_{xx}.\,$

Другие определения аксиальности и ромбичности отличаются от приведенных выше постоянными факторами, зависящими от контекста. Например, при использовании их в качестве параметров в неприводимом сферическом тензорном разложении удобнее всего разделить приведенное выше определение аксиальности на ${\sqrt {6}}$ и ромбичность по ${2}$.

Приложения

Описание физических взаимодействий в терминах аксиальности и ромбичности часто встречается в спиновой динамике и, в частности, в теории спиновой релаксации, где имеется множество бесследовых гамильтонианов билинейного взаимодействия, имеющих (собственную) форму

${\hat {H}}={\hat {\vec {\mathbf {a} }}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\hat {\vec {\mathbf {b} }}}=A_{xx}{\hat {a}}_{x}{\hat {b}}_{x}+A_{yy}{\hat {a}}_{y}{\hat {b}}_{y}+A_{zz}{\hat {a}}_{z}{\hat {b}}_{z}$

(шляпки обозначают операторы проектирования спина) можно удобно поворачивать с помощью неприводимых операторов сферических тензоров ранга 2:

${\hat {\vec {\mathbf {a} }}}\cdot \mathbf {A} \cdot {\hat {\vec {\mathbf {b} }}}={\frac {\delta A}{2}}{\hat {T}}_{2,-2}+{\frac {\delta A}{2}}{\hat {T}}_{2,2}+{\frac {\Delta A}{\sqrt {6}}}{\hat {T}}_{2,-2}$

${\hat {\hat {R}}}_{\alpha ,\beta ,\gamma }({\hat {T}}_{l,m})=\sum _{k=-2}^{2}{\hat {T}}_{l,k}{\mathfrak {D}}_{k,m}^{(l)}(\alpha ,\beta ,\gamma )$

где ${\mathfrak {D}}_{k,m}^{(l)}(\alpha ,\beta ,\gamma )$ – функции Вигнера, $(\alpha ,\beta ,\gamma )$ являются углами Эйлера, а выражения для неприводимых сферических тензорных операторов ранга 2 имеют вид:

${\hat {T}}_{2,2}=+{\frac {1}{2}}{\hat {a}}_{+}{\hat {b}}_{+}$

${\hat {T}}_{2,1}=-{\frac {1}{2}}({\hat {a}}_{z}{\hat {b}}_{+}+{\hat {a}}_{+}{\hat {b}}_{z})$

${\hat {T}}_{2,0}=+{\sqrt {\frac {2}{3}}}({\hat {a}}_{z}{\hat {b}}_{z}-{\frac {1}{4}}({\hat {a}}_{+}{\hat {b}}_{-}+{\hat {a}}_{-}{\hat {b}}_{+}))$

${\hat {T}}_{2,-1}=+{\frac {1}{2}}({\hat {a}}_{z}{\hat {b}}_{-}+{\hat {a}}_{-}{\hat {b}}_{z})$

${\hat {T}}_{2,-2}=+{\frac {1}{2}}{\hat {a}}_{-}{\hat {b}}_{-}$

Такое определение гамильтоновых вращений (аксиальность, ромбичность, три угла) существенно упрощает расчеты, поскольку свойства функций Вигнера хорошо изучены.

Ссылки

Д. М. Бринк и Г. Р. Сэтчлер, Угловой момент, 3-е издание, 1993, Оксфорд: Clarendon Press.

Д. А. Варшалович, А. Н. Москалев, В. К. Херсонский, Квантовая теория углового момента: неприводимые тензоры, сферические гармоники, векторные коэффициенты связи, символы 3nj, 1988, Сингапур: World Scientific Publications.

И. Купров, Н. Вагнер-Ранделл, П. Дж. Хор, Дж. Магн. Резон., 2007 (184) 196-206. Статья