Дефицит (статистика)

В статистике недостаток — это мера сравнения статистической модели с другой статистической моделью. Концепция была введена в 1960-х годах французским математиком Люсьеном Ле Камом , который использовал ее для доказательства аппроксимативной версии теоремы Блэквелла-Шермана-Стейна . Тесно связано расстояние Ле Кама , псевдометрика максимального отклонения между двумя статистическими моделями. Если недостаток модели ${\mathcal {E}}$ по отношению к ${\mathcal {F}}$ равно нулю, то говорят ${\mathcal {E}}$ лучше , , информативнее или сильнее чем ${\mathcal {F}}$.

Введение

Ле Кам определил статистическую модель более абстрактно, чем вероятностное пространство с семейством вероятностных мер. Он также не использовал термин «статистическая модель», а вместо этого использовал термин «эксперимент». В своей публикации 1964 года он представил статистический эксперимент с набором параметров. $\Theta$ как тройка $(X,E,(P_{\theta })_{\theta \in \Theta })$ состоящий из набора $X$, векторная решетка $E$ с блоком $I$ и семейство нормированных положительных функционалов $(P_{\theta })_{\theta \in \Theta }$ на $E$. В своей книге 1986 года он опустил $E$ и $X$. Эта статья следует его определению 1986 года и использует его терминологию, чтобы подчеркнуть обобщение.

Формулировка

Основные понятия

Позволять $\Theta$ быть пространством параметров. Учитывая абстрактное L ₁ -пространство $(L,\|\cdot \|)$ (т.е. банахова решетка такая, что для элементов $x,y\geq 0$ также $\|x+y\|=\|x\|+\|y\|$ выполняется), состоящая из линейных положительных функционалов $\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}$. Эксперимент ​ ${\mathcal {E}}$ это карта ${\mathcal {E}}:\Theta \to L$ формы $\theta \mapsto P_{\theta }$, такой, что $\|P_{\theta }\|=1$. $L$ представляет собой полосу, индуцированную $\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}$ и поэтому мы используем обозначение $L({\mathcal {E}})$. Для $\mu \in L({\mathcal {E}})$ обозначают $\mu ^{+}=\mu \vee 0=\max(\mu ,0)$. Топологический двойник $M$ L-пространства с сопряженной нормой $\|u\|_{M}=\sup\{|\langle u,\mu \rangle |;\|\mu \|_{L}\leq 1\}$ называется абстрактным М-пространством . Это также решетка с единицей измерения, определенной через $I\mu =\|\mu ^{+}\|_{L}-\|\mu ^{-}\|_{L}$ для $\mu \in L$.

Позволять $L(A)$ и $L(B)$ быть двумя L-пространствами двух экспериментов $A$ и $B$, то называют положительным, сохраняющим норму линейным отображением, т.е. $\|T\mu ^{+}\|=\|\mu ^{+}\|$ для всех $\mu \in L(A)$, переход. Сопряженным к переходам является положительное линейное отображение из двойственного пространства $M_{B}$ из $L(B)$ в двойное пространство $M_{A}$ из $L(A)$, такой, что единица измерения $M_{A}$ это изображение единицы $M_{B}$ является.

Дефицит

Позволять $\Theta$ быть пространством параметров и ${\mathcal {E}}:\theta \to P_{\theta }$ и ${\mathcal {F}}:\theta \to Q_{\theta }$ быть двумя экспериментами, индексированными $\Theta$. $L({\mathcal {E}})$ и $L({\mathcal {F}})$ обозначим соответствующие L-пространства и пусть ${\mathcal {T}}$ быть множеством всех переходов из $L({\mathcal {E}})$ к $L({\mathcal {F}})$.

Дефицит ​ $\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})$ из ${\mathcal {E}}$ по отношению к ${\mathcal {F}}$ это число

$\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\inf \limits _{T\in {\mathcal {T}}}\sup \limits _{\theta \in \Theta }{\tfrac {1}{2}}\|Q_{\theta }-TP_{\theta }\|_{\text{TV}},$

где $\|\cdot \|_{\text{TV}}$ обозначала общую вариационную норму $\|\mu \|_{\text{TV}}=\mu ^{+}+\mu ^{-}$. Фактор ${\tfrac {1}{2}}$ предназначен только для вычислительных целей и иногда опускается.

Удаленная камера

Расстояние Ле Кама представляет собой следующую псевдометрику

$\Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}):=\operatorname {max} \left(\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}}),\delta ({\mathcal {F}},{\mathcal {E}})\right).$

Это индуцирует отношение эквивалентности , и когда $\Delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0$, тогда один говорит ${\mathcal {E}}$ и ${\mathcal {F}}$ эквивалентны ​ . Эквивалентный класс $C_{\mathcal {E}}$ из ${\mathcal {E}}$ еще называют типом ${\mathcal {E}}$.

Часто интересуются семействами экспериментов. $({\mathcal {E}}_{n})_{n}$ с $\{P_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}$ и $({\mathcal {F}}_{n})_{n}$ с $\{Q_{n,\theta }\colon \theta \in \Theta _{n}\}$. Если $\Delta ({\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {F}}_{n})=0$ как $n\to \infty$, тогда один говорит $({\mathcal {E}}_{n})$ и $({\mathcal {F}}_{n})$ эквивалентны асимптотически .

Позволять $\Theta$ быть пространством параметров и $E(\Theta )$ быть множеством всех типов, которые индуцированы $\Theta$, то расстояние Ле Кама $\Delta$ является полным относительно $E(\Theta )$. Состояние $\delta ({\mathcal {E}},{\mathcal {F}})=0$ наводит частичный порядок на $E(\Theta )$, говорит один ${\mathcal {E}}$ лучше , , информативнее или сильнее чем ${\mathcal {F}}$.

Библиография

• Ле Кам, Люсьен (1986). Асимптотические методы в статистической теории принятия решений . Серия Спрингера по статистике. Спрингер, Нью-Йорк. дои : 10.1007/978-1-4612-4946-7 .
• Ле Кам, Люсьен (1964). «Достаточность и приблизительная достаточность» . Анналы математической статистики . 35 (4). Институт математической статистики : 1419–1455. дои : 10.1214/aoms/1177700372 .
• Торгерсен, Эрик (1991). Сравнение статистических экспериментов . Издательство Кембриджского университета, Соединенное Королевство. дои : 10.1017/CBO9780511666353 .