Дефицит (статистика)
В статистике недостаток — это мера сравнения статистической модели с другой статистической моделью. Концепция была введена в 1960-х годах французским математиком Люсьеном Ле Камом , который использовал ее для доказательства аппроксимативной версии теоремы Блэквелла-Шермана-Стейна . [1] [2] Тесно связано расстояние Ле Кама , псевдометрика максимального отклонения между двумя статистическими моделями. Если недостаток модели по отношению к равно нулю, то говорят лучше , , информативнее или сильнее чем .
Введение
[ редактировать ]Ле Кам определил статистическую модель более абстрактно, чем вероятностное пространство с семейством вероятностных мер. Он также не использовал термин «статистическая модель», а вместо этого использовал термин «эксперимент». В своей публикации 1964 года он представил статистический эксперимент с набором параметров. как тройка состоящий из набора , векторная решетка с блоком и семейство нормированных положительных функционалов на . [3] [4] В своей книге 1986 года он опустил и . [5] Эта статья следует его определению 1986 года и использует его терминологию, чтобы подчеркнуть обобщение.
Формулировка
[ редактировать ]Основные понятия
[ редактировать ]Позволять быть пространством параметров. Учитывая абстрактное L 1 -пространство (т.е. банахова решетка такая, что для элементов также выполняется), состоящая из линейных положительных функционалов . Эксперимент это карта формы , такой, что . представляет собой полосу, индуцированную и поэтому мы используем обозначение . Для обозначают . Топологический двойник L-пространства с сопряженной нормой называется абстрактным М-пространством . Это также решетка с единицей измерения, определенной через для .
Позволять и быть двумя L-пространствами двух экспериментов и , то называют положительным, сохраняющим норму линейным отображением, т.е. для всех , переход. Сопряженным к переходам является положительное линейное отображение из двойственного пространства из в двойное пространство из , такой, что единица измерения это изображение единицы является. [5]
Дефицит
[ редактировать ]Позволять быть пространством параметров и и быть двумя экспериментами, индексированными . и обозначим соответствующие L-пространства и пусть быть множеством всех переходов из к .
Дефицит из по отношению к это число
где обозначала общую вариационную норму . Фактор предназначен только для вычислительных целей и иногда опускается.
Удаленная камера
[ редактировать ]Расстояние Ле Кама представляет собой следующую псевдометрику
Это индуцирует отношение эквивалентности , и когда , тогда один говорит и эквивалентны . Эквивалентный класс из еще называют типом .
Часто интересуются семействами экспериментов. с и с . Если как , тогда один говорит и эквивалентны асимптотически .
Позволять быть пространством параметров и быть множеством всех типов, которые индуцированы , то расстояние Ле Кама является полным относительно . Состояние наводит частичный порядок на , говорит один лучше , , информативнее или сильнее чем . [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Ле Кам, Люсьен (1964). «Достаточность и приблизительная достаточность» . Анналы математической статистики . 35 (4). Институт математической статистики : 1429. doi : 10.1214/aoms/1177700372 .
- ^ Торгерсен, Эрик (1991). Сравнение статистических экспериментов . Издательство Кембриджского университета, Соединенное Королевство. стр. 222–257. дои : 10.1017/CBO9780511666353 .
- ^ Ле Кам, Люсьен (1964). «Достаточность и приблизительная достаточность» . Анналы математической статистики . 35 (4). Институт математической статистики : 1421. doi : 10.1214/aoms/1177700372 .
- ^ ван дер Ваарт, Аад (2002). «Статистическая работа Люсьена Ле Кама». Анналы статистики . 30 (3): 631–82. JSTOR 2699973 .
- ^ Jump up to: а б Ле Кам, Люсьен (1986). Асимптотические методы в статистической теории принятия решений . Серия Спрингера по статистике. Спрингер, Нью-Йорк. стр. 1–5. дои : 10.1007/978-1-4612-4946-7 .
- ^ Jump up to: а б Ле Кам, Люсьен (1986). Асимптотические методы в статистической теории принятия решений . Серия Спрингера по статистике. Спрингер, Нью-Йорк. стр. 18–19. дои : 10.1007/978-1-4612-4946-7 .
Библиография
[ редактировать ]- Ле Кам, Люсьен (1986). Асимптотические методы в статистической теории принятия решений . Серия Спрингера по статистике. Спрингер, Нью-Йорк. дои : 10.1007/978-1-4612-4946-7 .
- Ле Кам, Люсьен (1964). «Достаточность и приблизительная достаточность» . Анналы математической статистики . 35 (4). Институт математической статистики : 1419–1455. дои : 10.1214/aoms/1177700372 .
- Торгерсен, Эрик (1991). Сравнение статистических экспериментов . Издательство Кембриджского университета, Соединенное Королевство. дои : 10.1017/CBO9780511666353 .