Все один полином

В математике ( одночленный многочлен АОП) — это многочлен , у которого все коэффициенты равны единице. Над конечным полем второго порядка АОП известны условия неприводимости , которые позволяют использовать этот полином для определения эффективных алгоритмов и схем умножения в конечных полях характеристики два . АОП представляет собой 1- равноотстоящий полином .

Определение

АОП степени m имеет все члены из x ^м до х ⁰ с коэффициентами 1 и может быть записано как

$AOP_{m}(x)=\sum _{i=0}^{m}x^{i}$

или

$AOP_{m}(x)=x^{m}+x^{m-1}+\cdots +x+1$

или

$AOP_{m}(x)={x^{m+1}-1 \over {x-1}}.$

Таким образом, все корни одного многочлена степени m — это все корни ( m +1)-й степени из единицы, кроме самой единицы.

Характеристики

По сравнению с GF(2) АОП обладает множеством интересных свойств, в том числе:

• Вес Хэмминга АОП равен m + 1, максимально возможный для его степени.
• АОП неприводима тогда и только тогда, когда m + 1 — простое число , а 2 — примитивный корень по модулю m + 1. (над GF( p ) с простым p он неприводим тогда и только тогда, когда m + 1 простое число и p является примитивным корнем по модулю m + 1)
• Единственный АОП, являющийся примитивным многочленом, — это x ² + х + 1.

Несмотря на то, что вес Хэмминга велик, благодаря простоте представления и другим улучшениям существуют эффективные реализации в таких областях, как теория кодирования и криптография .

Над $\mathbb {Q}$, АОП неприводим, если m + 1 является простым p и, следовательно, в этих случаях p -м круговым полиномом .

Внешние ссылки

• все один полином в PlanetMath .