Равная точка объезда

В евклидовой геометрии равной точкой обхода является центр треугольника, обозначенный X (176) в Кларка Кимберлинга Энциклопедии центров треугольников . Он характеризуется свойством равного обхода: если из любой вершины треугольника △ $ABC пройти$ в обход через некоторую внутреннюю точку $P$ , то пройденное дополнительное расстояние будет постоянным. Это означает, что должно выполняться следующее уравнение: ^[1]

{\begin{aligned}&{\overline {AP}}+{\overline {PC}}-{\overline {AC}}\\[3mu]={}&{\overline {AP}}+{\overline {PB}}-{\overline {AB}}\\[3mu]={}&{\overline {BP}}+{\overline {PC}}-{\overline {BC}}.\end{aligned}}

Равная точка обхода является единственной точкой со свойством равного обхода тогда и только тогда, когда следующее неравенство $для углов α, β, γ$ ABC $△ выполняется$ : ^[2]

\tan {\tfrac {1}{2}}\alpha +\tan {\tfrac {1}{2}}\beta +\tan {\tfrac {1}{2}}\gamma \leq 2

Если неравенство не выполнено, то изопериметрическая точка также обладает свойством равного обхода.

Равная точка обхода, изопериметрическая точка, центр инцентра и точка Жергонна треугольника лежат на одной прямой , то есть все четыре точки лежат на одной прямой. Более того, они также образуют гармонический диапазон (см. рисунок справа). ^[3]

Равная точка объезда - это центр внутреннего круга Дердового треугольника, а дополнительное расстояние, проходимое в обход, равно диаметру внутреннего круга Дердового круга. ^[3]

Барицентрические координаты равной точки объезда: ^[3]

\left(a+{\frac {\Delta }{s-a}}:b+{\frac {\Delta }{s-b}}:c+{\frac {\Delta }{s-c}}\right).

а трилинейные координаты : ^[1] $1+{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\beta \,\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }{\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha }}\ :\ 1+{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma \,\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha }{\cos {\tfrac {1}{2}}\beta }}\ :\ 1+{\frac {\cos {\tfrac {1}{2}}\alpha \,\cos {\tfrac {1}{2}}\beta }{\cos {\tfrac {1}{2}}\gamma }}$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Изопериметрическая точка и точка равного объезда в Энциклопедии центров треугольников (получено 7 февраля 2020 г.)
^ М. Хаджа, П. Ифф: «Изопериметрическая точка и точка (точки) равного обхода в треугольнике». Журнал геометрии , ноябрь 2007 г., том 87, выпуск 1–2, стр. 76–82, https://doi.org/10.1007/s00022-007-1906-y.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Н. Дергиадес: «Круги Содди», Forum Geometricorum, том 7, стр. 191–197, 2007 г.

Внешние ссылки

изопериметрические и равные точки объезда - интерактивная иллюстрация на Geogebratube

[etc-1] Jump up to: ^а ^б Изопериметрическая точка и точка равного объезда в Энциклопедии центров треугольников (получено 7 февраля 2020 г.)

[2] М. Хаджа, П. Ифф: «Изопериметрическая точка и точка (точки) равного обхода в треугольнике». Журнал геометрии , ноябрь 2007 г., том 87, выпуск 1–2, стр. 76–82, https://doi.org/10.1007/s00022-007-1906-y.

[Dergiades-3] Jump up to: ^а ^б ^с Н. Дергиадес: «Круги Содди», Forum Geometricorum, том 7, стр. 191–197, 2007 г.

[1]

[2]

[3]