Функция Ломмеля

, Дифференциальное уравнение Ломмеля названное в честь Ойгена фон Ломмеля , представляет собой неоднородную форму дифференциального уравнения Бесселя :

$z^{2}{\frac {d^{2}y}{dz^{2}}}+z{\frac {dy}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})y=z^{\mu +1}.$

Решения даются функциями Ломмеля s _µ,ν ( z ) и S _µ,ν ( z ), введенными Ойгеном фон Ломмелем ( 1880 г. ),

$s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}\left[Y_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }J_{\nu }(x)\,dx-J_{\nu }(z)\!\int _{0}^{z}\!\!x^{\mu }Y_{\nu }(x)\,dx\right],$

$S_{\mu ,\nu }(z)=s_{\mu ,\nu }(z)+2^{\mu -1}\Gamma \left({\frac {\mu +\nu +1}{2}}\right)\Gamma \left({\frac {\mu -\nu +1}{2}}\right)\left(\sin \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]J_{\nu }(z)-\cos \left[(\mu -\nu ){\frac {\pi }{2}}\right]Y_{\nu }(z)\right),$

где J _ν ( z ) — функция Бесселя первого рода, а Y _ν ( z ) — функция Бесселя второго рода.

Функцию s также можно записать как

$s_{\mu ,\nu }(z)={\frac {z^{\mu +1}}{(\mu -\nu +1)(\mu +\nu +1)}}{}_{1}F_{2}(1;{\frac {\mu }{2}}-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}},{\frac {\mu }{2}}+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}),$

где _p F _q — обобщенная гипергеометрическая функция .

См. также

• Функция гнева
• Полином Ломмеля
• Функция Струве
• Функция Вебера

Ссылки

• Эрдели, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1953), Высшие трансцендентные функции. Том II (PDF) , McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон, MR   0058756
• Ломмель, Э. (1875), «О функции, связанной с функциями Бесселя» , Ann. , 9 (3): 425–444, doi : 10.1007/BF01443342
• Ломмель, Э. (1880), «К теории функций Бесселя IV», Math. , 16 (2): 183–208, doi : 10.1007/BF01446386
• Пэрис, РБ (2010), «Функция Ломмеля» , Олвер, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .
• Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Функция Ломмеля» , Энциклопедия Математики , EMS Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Дифференциальное уравнение Ломмеля». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.
• Вайсштейн, Эрик В. «Функция Ломмеля». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram.