Jump to content

Индикаторная функция (комплексный анализ)

В области математики, известной как комплексный анализ , индикаторная функция целой функции указывает на скорость роста функции в различных направлениях.

Определение

[ редактировать ]

Рассмотрим целую функцию . Предположим, что порядок его роста равен , индикаторная функция определяется как [1] [2]

Индикаторную функцию можно определить и для функций, которые не являются целыми, а аналитическими внутри угла. .

Основные свойства

[ редактировать ]

По самому определению индикаторной функции имеем, что показатель произведения двух функций не превышает сумму показателей: [2] : 51–52 

Аналогично показатель суммы двух функций не превосходит больший из двух показателей:

Элементарные расчеты показывают, что если , затем . Таким образом, [2] : 52 

В частности,

Поскольку комплексные функции синус и косинус выражаются через экспоненту, из приведенного выше результата следует, что

Другая легко выводимая индикаторная функция — это обратная гамма-функция . Однако эта функция имеет бесконечный тип (и порядок ), поэтому необходимо определить индикаторную функцию, которая будет

Тогда приближение Стирлинга к гамма-функции дает следующее:

Другой пример — функция Миттаг-Леффлера. . Эта функция имеет порядок , и [3] : 50 

Дополнительные свойства индикатора

[ редактировать ]

Те индикаторные функции, имеющие вид называются -тригонометрически выпуклая ( и являются действительными константами). Если , мы просто говорим, что является тригонометрически выпуклой.

Такие индикаторы обладают некоторыми особыми свойствами. Например, все следующие утверждения верны для индикаторной функции, которая является тригонометрически выпуклой по крайней мере на интервале: : [1] : 55–57  [2] : 54–61 

  • Если для , затем повсюду в .
  • Если ограничен , то оно непрерывно на этом интервале. Более того, удовлетворяет условию Липшица на .
  • Если ограничен , то он имеет как левую, так и правую производную в каждой точке интервала . При этом левая производная не больше правой. Также верно, что правая производная непрерывна справа, а левая производная непрерывна слева.
  • Если ограничен , то оно имеет производную во всех точках, за исключением, возможно, счетного множества.
  • Если является -тригонометрически выпуклый на , затем , в любое время .

Примечания

[ редактировать ]
  1. ^ Jump up to: а б Левин, Б.Я. (1996). Лекции по целым функциям . амер. Математика. Соц. ISBN  0821802828 .
  2. ^ Jump up to: а б с д Левин, Б.Я. (1964). Распределение нулей целых функций . амер. Математика. Соц. ISBN  978-0-8218-4505-9 .
  3. ^ Картрайт, ML (1962). Интегральные функции . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN  052104586X .
  • Боас, Р.П. (1954). Целые функции . Академическая пресса. ISBN  0121081508 .
  • Волковский Л.И.; Лунц, Г.Л.; Араманович, ИГ (2011). Сборник задач по комплексному анализу . Дуврские публикации. ISBN  978-0486669137 .
  • Маркушевич А.И.; Сильверман, Р.А. (1965). Теория функций комплексного переменного, Том. II . Prentice-Hall Inc. ASIN   B003ZWIKFC .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 00fa5a76083c277908eee51e17af1fb9__1718640180
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/00/b9/00fa5a76083c277908eee51e17af1fb9.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Indicator function (complex analysis) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)