Индикаторная функция (комплексный анализ)
Эта статья является потерянной , так как никакие другие статьи не ссылаются на нее . Пожалуйста, укажите ссылки на эту страницу из соответствующих статей ; попробуйте инструмент «Найти ссылку», чтобы получить предложения. ( июнь 2024 г. ) |
В области математики, известной как комплексный анализ , индикаторная функция целой функции указывает на скорость роста функции в различных направлениях.
Определение
[ редактировать ]Рассмотрим целую функцию . Предположим, что порядок его роста равен , индикаторная функция определяется как [1] [2]
Индикаторную функцию можно определить и для функций, которые не являются целыми, а аналитическими внутри угла. .
Основные свойства
[ редактировать ]По самому определению индикаторной функции имеем, что показатель произведения двух функций не превышает сумму показателей: [2] : 51–52
Аналогично показатель суммы двух функций не превосходит больший из двух показателей:
Примеры
[ редактировать ]Элементарные расчеты показывают, что если , затем . Таким образом, [2] : 52
В частности,
Поскольку комплексные функции синус и косинус выражаются через экспоненту, из приведенного выше результата следует, что
Другая легко выводимая индикаторная функция — это обратная гамма-функция . Однако эта функция имеет бесконечный тип (и порядок ), поэтому необходимо определить индикаторную функцию, которая будет
Тогда приближение Стирлинга к гамма-функции дает следующее:
Другой пример — функция Миттаг-Леффлера. . Эта функция имеет порядок , и [3] : 50
Дополнительные свойства индикатора
[ редактировать ]Те индикаторные функции, имеющие вид называются -тригонометрически выпуклая ( и являются действительными константами). Если , мы просто говорим, что является тригонометрически выпуклой.
Такие индикаторы обладают некоторыми особыми свойствами. Например, все следующие утверждения верны для индикаторной функции, которая является тригонометрически выпуклой по крайней мере на интервале: : [1] : 55–57 [2] : 54–61
- Если для , затем повсюду в .
- Если ограничен , то оно непрерывно на этом интервале. Более того, удовлетворяет условию Липшица на .
- Если ограничен , то он имеет как левую, так и правую производную в каждой точке интервала . При этом левая производная не больше правой. Также верно, что правая производная непрерывна справа, а левая производная непрерывна слева.
- Если ограничен , то оно имеет производную во всех точках, за исключением, возможно, счетного множества.
- Если является -тригонометрически выпуклый на , затем , в любое время .
Примечания
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Левин, Б.Я. (1996). Лекции по целым функциям . амер. Математика. Соц. ISBN 0821802828 .
- ^ Jump up to: а б с д Левин, Б.Я. (1964). Распределение нулей целых функций . амер. Математика. Соц. ISBN 978-0-8218-4505-9 .
- ^ Картрайт, ML (1962). Интегральные функции . Кембриджский университет. Нажимать. ISBN 052104586X .
Ссылки
[ редактировать ]- Боас, Р.П. (1954). Целые функции . Академическая пресса. ISBN 0121081508 .
- Волковский Л.И.; Лунц, Г.Л.; Араманович, ИГ (2011). Сборник задач по комплексному анализу . Дуврские публикации. ISBN 978-0486669137 .
- Маркушевич А.И.; Сильверман, Р.А. (1965). Теория функций комплексного переменного, Том. II . Prentice-Hall Inc. ASIN B003ZWIKFC .