Индикаторная функция (комплексный анализ)

В области математики, известной как комплексный анализ , индикаторная функция целой функции указывает на скорость роста функции в различных направлениях.

Определение

Рассмотрим целую функцию $f:\mathbb {C} \to \mathbb {C}$. Предположим, что порядок его роста равен $\rho$, индикаторная функция $f$ определяется как $$h_{f}(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log |f(re^{i\theta })|}{r^{\rho }}}.$$

Индикаторную функцию можно определить и для функций, которые не являются целыми, а аналитическими внутри угла. $D=\{z=re^{i\theta }:\alpha <\theta <\beta \}$.

Основные свойства

По самому определению индикаторной функции имеем, что показатель произведения двух функций не превышает сумму показателей: $$h_{fg}(\theta )\leq h_{f}(\theta )+h_{g}(\theta ).$$

Аналогично показатель суммы двух функций не превосходит больший из двух показателей: $$h_{f+g}(\theta )\leq \max\{h_{f}(\theta ),h_{g}(\theta )\}.$$

Примеры

Элементарные расчеты показывают, что если $f(z)=e^{(A+iB)z^{\rho }}$, затем $|f(re^{i\theta })|=e^{Ar^{\rho }\cos(\rho \theta )-Br^{\rho }\sin(\rho \theta )}$. Таким образом, $$h_{f}(\theta )=A\cos(\rho \theta )-B\sin(\rho \theta ).$$

В частности, $$h_{\exp }(\theta )=\cos(\theta ).$$

Поскольку комплексные функции синус и косинус выражаются через экспоненту, из приведенного выше результата следует, что

$h_{\sin }(\theta )=h_{\cos }(\theta )={\begin{cases}\sin(\theta ),&{\text{if }}0\leq \theta <\pi \\-\sin(\theta ),&{\text{if }}\pi \leq \theta <2\pi .\end{cases}}$

Другая легко выводимая индикаторная функция — это обратная гамма-функция . Однако эта функция имеет бесконечный тип (и порядок $\rho =1$), поэтому необходимо определить индикаторную функцию, которая будет $$h_{1/\Gamma }(\theta )=\limsup _{r\to \infty }{\frac {\log |1/\Gamma (re^{i\theta })|}{r\log r}}.$$

Тогда приближение Стирлинга к гамма-функции дает следующее: $$h_{1/\Gamma }(\theta )=-\cos(\theta ).$$

Другой пример — функция Миттаг-Леффлера. $E_{\alpha }$. Эта функция имеет порядок $\rho =1/\alpha$, и

$$h_{E_{\alpha }}(\theta )={\begin{cases}\cos \left({\frac {\theta }{\alpha }}\right),&{\text{for }}|\theta |\leq {\frac {1}{2}}\alpha \pi ;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}$$

Дополнительные свойства индикатора

Те $h$ индикаторные функции, имеющие вид $$h(\theta )=A\cos(\rho \theta )+B\sin(\rho \theta )$$называются $\rho$-тригонометрически выпуклая ( $A$ и $B$ являются действительными константами). Если $\rho =1$, мы просто говорим, что $h$ является тригонометрически выпуклой.

Такие индикаторы обладают некоторыми особыми свойствами. Например, все следующие утверждения верны для индикаторной функции, которая является тригонометрически выпуклой по крайней мере на интервале: $(\alpha ,\beta )$:

• Если $h(\theta _{1})=-\infty$ для $\theta _{1}\in (\alpha ,\beta )$, затем $h=-\infty$ повсюду в $(\alpha ,\beta )$.
• Если $h$ ограничен $(\alpha ,\beta )$, то оно непрерывно на этом интервале. Более того, $h$ удовлетворяет условию Липшица на $(\alpha ,\beta )$.
• Если $h$ ограничен $(\alpha ,\beta )$, то он имеет как левую, так и правую производную в каждой точке интервала $(\alpha ,\beta )$. При этом левая производная не больше правой. Также верно, что правая производная непрерывна справа, а левая производная непрерывна слева.
• Если $h$ ограничен $(\alpha ,\beta )$, то оно имеет производную во всех точках, за исключением, возможно, счетного множества.
• Если $h$ является $\rho$-тригонометрически выпуклый на $[\alpha ,\beta ]$, затем $h(\theta )+h(\theta +\pi /\rho )\geq 0$, в любое время $\alpha \leq \theta <\theta +\pi /\rho \leq \beta$.

Ссылки

• Боас, Р.П. (1954). Целые функции . Академическая пресса. ISBN  0121081508 .
• Волковский Л.И.; Лунц, Г.Л.; Араманович, ИГ (2011). Сборник задач по комплексному анализу . Дуврские публикации. ISBN  978-0486669137 .
• Маркушевич А.И.; Сильверман, Р.А. (1965). Теория функций комплексного переменного, Том. II . Prentice-Hall Inc. ASIN   B003ZWIKFC .