Формула Бохнера

В математике . формула Бохнера — это утверждение, связывающее гармонические функции на римановом многообразии $(M,g)$ кривизне Риччи . Формула названа в честь американского математика Саломона Бохнера .

Официальное заявление

Если $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ — гладкая функция, то

${\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=g(\nabla \Delta u,\nabla u)+|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$,

где $\nabla u$ это градиент ​ $u$ относительно $g$, $\nabla ^{2}u$ это гессиан ​ $u$ относительно $g$ и ${\mbox{Ric}}$ – тензор кривизны Риччи . Если $u$ является гармоническим (т.е. $\Delta u=0$, где $\Delta =\Delta _{g}$ является лапласианом относительно метрики $g$), формула Бохнера принимает вид

${\tfrac {1}{2}}\Delta |\nabla u|^{2}=|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u)$.

Бохнер использовал эту формулу для доказательства теоремы Бохнера об исчезновении .

Как следствие, если $(M,g)$ является римановым многообразием без края и $u\colon M\rightarrow \mathbb {R}$ — гладкая функция с компактным носителем, то

$\int _{M}(\Delta u)^{2}\,d{\mbox{vol}}=\int _{M}{\Big (}|\nabla ^{2}u|^{2}+{\mbox{Ric}}(\nabla u,\nabla u){\Big )}\,d{\mbox{vol}}$.

Это непосредственно следует из первого тождества, если заметить, что интеграл в левой части обращается в нуль (по теореме о расходимости ) и проинтегрировать по частям первое слагаемое в правой части.

Вариации и обобщения

• личность Бохнера
• Личность Вайценбека