Полупараметрическая модель

В статистике полупараметрическая модель — это статистическая модель , имеющая параметрические и непараметрические компоненты.

Статистическая модель представляет собой параметризованное семейство распределений: $\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}$ индексируется параметром $\theta$ .

Параметрическая модель — это модель, в которой параметр индексации $\theta$ является вектором в $k$ -мерное евклидово пространство для некоторого неотрицательного целого числа $k$ . ^[1] Таким образом, $\theta$ конечномерен, и $\Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}$ .
В непараметрической модели набор возможных значений параметра $\theta$ является подмножеством некоторого пространства $V$ , который не обязательно конечномерен. Например, мы могли бы рассмотреть набор всех распределений со средним значением 0. Такие пространства являются векторными пространствами с топологической структурой , но не могут быть конечномерными, как векторные пространства. Таким образом, $\Theta \subseteq V$ для некоторого, возможно, бесконечномерного пространства $V$ .
В полупараметрической модели параметр имеет как конечномерную, так и бесконечномерную составляющую (часто вещественную функцию, определенную на действительной прямой). Таким образом, $\Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V$ , где $V$ представляет собой бесконечномерное пространство.

На первый взгляд может показаться, что полупараметрические модели включают в себя непараметрические модели, поскольку они имеют как бесконечномерную, так и конечномерную составляющую. Однако полупараметрическая модель считается «меньшей», чем полностью непараметрическая модель, поскольку нас часто интересует только конечномерная составляющая $\theta$ . То есть бесконечномерная составляющая рассматривается как мешающий параметр . ^[2] В непараметрических моделях, напротив, основной интерес представляет оценка бесконечномерного параметра. Таким образом, задача оценки статистически сложнее в непараметрических моделях.

В этих моделях часто используются сглаживание или ядра .

Пример

Хорошо известным примером полупараметрической модели является модель пропорциональных рисков Кокса . ^[3] Если мы заинтересованы в изучении времени $T$ к такому событию, как смерть от рака или выход из строя лампочки, модель Кокса определяет следующую функцию распределения для $T$ :

F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right),

где $x$ - вектор ковариат, а $\beta$ и $\lambda _{0}(u)$ являются неизвестными параметрами. $\theta =(\beta ,\lambda _{0}(u))$ . Здесь $\beta$ является конечномерным и представляет интерес; $\lambda _{0}(u)$ представляет собой неизвестную неотрицательную функцию времени (известную как базовая функция риска) и часто является неприятным параметром . Набор возможных кандидатов на $\lambda _{0}(u)$ является бесконечномерным.

См. также

Примечания

^ Бикель, П.Дж.; Клаассен, CAJ; Ритов Ю.; Веллнер, Дж. А. (2006), «Полупараметрика», Коц, С .; и др. (ред.), Энциклопедия статистических наук , Wiley .
^ Оукс, Д. (2006), «Полупараметрические модели», Коц, С .; и др. (ред.), Энциклопедия статистических наук , Wiley .
^ Балакришнан, Н.; Рао, ЧР (2004). Справочник по статистике 23: Достижения в анализе выживания . Эльзевир . п. 126.

Ссылки

Бикель, П.Дж.; Клаассен, CAJ; Ритов Ю.; Веллнер, Дж. А. (1998), Эффективная и адаптивная оценка полупараметрических моделей , Springer
Хердле, Вольфганг; Мюллер, Марлен; Сперлих, Стефан; Верватц, Аксель (2004), Непараметрические и полупараметрические модели , Springer
Косорок, Майкл Р. (2008), Введение в эмпирические процессы и полупараметрический вывод , Springer
Циатис, Анастасиос А. (2006), Полупараметрическая теория и недостающие данные , Springer
Бегун, Джанет М.; Холл, Вашингтон; Хуан, Вэй-Мин; Веллнер, Джон А. (1983), «Информация и асимптотическая эффективность в параметрических и непараметрических моделях», Анналы статистики, 11 (1983), вып. 2, 432--452

[ESS06--1] Бикель, П.Дж.; Клаассен, CAJ; Ритов Ю.; Веллнер, Дж. А. (2006), «Полупараметрика», Коц, С .; и др. (ред.), Энциклопедия статистических наук , Wiley .

[ESS06-Oakes-2] Оукс, Д. (2006), «Полупараметрические модели», Коц, С .; и др. (ред.), Энциклопедия статистических наук , Wiley .

[BalakrishnanRao2004-3] Балакришнан, Н.; Рао, ЧР (2004). Справочник по статистике 23: Достижения в анализе выживания . Эльзевир . п. 126.

[1]

[2]

[3]