Условие когерентности

В математике , и особенно в теории категорий , условие когерентности — это набор условий, требующих различных композиций элементарных морфизмов равенства . Обычно элементарные морфизмы являются частью данных категории . Теорема когерентности утверждает, что для того, чтобы быть уверенным в выполнении всех этих равенств, достаточно проверить небольшое количество тождеств.

Наглядный пример: моноидальная категория.

Часть данных моноидальной категории представляет собой выбранный морфизм $\alpha _{A,B,C}$, называемый ассоциатором :

$\alpha _{A,B,C}\colon (A\otimes B)\otimes C\rightarrow A\otimes (B\otimes C)$

за каждую тройку объектов $A,B,C$ в категории. Используя композиции этих $\alpha _{A,B,C}$, можно построить морфизм

$((A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes A_{N-2})\otimes \cdots \otimes A_{1})\rightarrow (A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes \cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})).$

На самом деле существует множество способов построения такого морфизма как композиции различных $\alpha _{A,B,C}$. Одним из условий согласованности, которое обычно налагается, является то, что все эти композиции равны.

Обычно условие когерентности доказывается с помощью теоремы когерентности , которая утверждает, что нужно проверить лишь несколько равенств композиций, чтобы показать, что остальные также выполняются. В приведенном выше примере нужно только проверить, что для всех четверок объектов $A,B,C,D$, следующая диаграмма коммутирует.

Любая пара морфизмов из $((\cdots (A_{N}\otimes A_{N-1})\otimes \cdots )\otimes A_{2})\otimes A_{1})$ к $(A_{N}\otimes (A_{N-1}\otimes (\cdots \otimes (A_{2}\otimes A_{1})\cdots ))$ построены как композиции различных $\alpha _{A,B,C}$ равны.

Дальнейшие примеры

Два простых примера, иллюстрирующих это определение, заключаются в следующем. Оба непосредственно вытекают из определения категории.

Личность

Пусть f : A → B — морфизм категории, содержащей два A и B. объекта С этими объектами связаны тождественные морфизмы 1 _A : A → A и 1 _B : B → B . Составляя их с f , мы строим два морфизма:

f o 1 _A : A → B , и

1 _B о ж : А → B .

Оба являются морфизмами между теми же объектами, что и f . Соответственно, мы имеем следующее утверждение о связности:

ж о 1 _А знак равно ж знак равно 1 _B о ж .

Ассоциативность композиции

Пусть f : A → B , g : B → C и h : C → D — морфизмы категории, содержащей A , B , C и D. объекты Путем повторной композиции мы можем построить морфизм от A до D двумя способами:

( час о г ) из : A и → D ,

час о ( г о ж ) : А → D .

Теперь у нас есть следующее утверждение о связности:

( час о г ) о ж знак равно час о ( г о ж ) .

В этих двух конкретных примерах утверждения о связности являются теоремами для случая абстрактной категории, поскольку они следуют непосредственно из аксиом; на самом деле это аксиомы . Для случая конкретной математической структуры их можно рассматривать как условия, а именно как требования к тому, чтобы рассматриваемая математическая структура была конкретной категорией, требования, которым такая структура может отвечать или не отвечать.

Ссылки

• Мак Лейн, Сондерс (1971). «7. Моноиды §2 Связность» . Категории для работающего математика . Дипломные тексты по математике. Том. 4. Спрингер. стр. 161–165. дои : 10.1007/978-1-4612-9839-7_8 . ISBN  9781461298397 .