Теорема Яна

В вероятностей теории теорема Яна является результатом разделения и существования. Он представляет особый интерес в финансовой математике , где его используют для доказательства теоремы Крепса-Яна .

Теорему опубликовал Цзя-Ань Ян . Это было доказано для L ¹ пространстве и позже обобщен Жаном-Паскалем Анселем на случай $1\leq p<+\infty$.

Теорема Яна

Обозначение:

${\overline {\Omega }}$ это замыкание множества $\Omega$.

$A-B=\{f-g:f\in A,\;g\in B\}$.

$I_{A}$ – индикаторная функция $A$.

$q$ – сопряженный индекс $p$.

Заявление

Позволять $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть вероятностным пространством , $1\leq p<+\infty$ и $B_{+}$ — пространство неотрицательных и ограниченных случайных величин . Дальше пусть $K\subseteq L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ быть выпуклым подмножеством и $0\in K$.

Тогда следующие три условия эквивалентны:

1. Для всех $f\in L_{+}^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ с $f\neq 0$ существует константа $c>0$, такой, что $cf\not \in {\overline {K-B_{+}}}$.
2. Для всех $A\in {\mathcal {F}}$ с $P(A)>0$ существует константа $c>0$, такой, что $cI_{A}\not \in {\overline {K-B_{+}}}$.
3. Существует случайная величина $Z\in L^{q}$, такой, что $Z>0$ почти наверняка и

$\sup \limits _{Y\in K}\mathbb {E} [ZY]<+\infty$.

Литература

• Ян, Цзя-Ань (1980). «Характеризация класса выпуклых множеств $L^{1}$ или $H^{1}$" . Страсбургский семинар по теории вероятностей . 14 : 220–222.
• Фредди Дельбен и Уолтер Шахермайер: Математика арбитража (2005). Спрингер Финанс