Теорема Бернштейна – Кушниренко.

Теорема Бернштейна –Кушниренко (или теорема Бернштейна–Хованского–Кушниренко (БКК) ), доказано Дэвидом Бернстайном and Anatoliy Kushnirenko в 1975 году — теорема по алгебре . В нем утверждается, что число ненулевых комплексных решений системы полиномиальных уравнений Лорана $f_{1}=\cdots =f_{n}=0$ равен смешанному объему многогранников Ньютона полиномов $f_{1},\ldots ,f_{n}$, предполагая, что все ненулевые коэффициенты $f_{n}$ являются общими. Более точное утверждение звучит следующим образом:

Заявление

Позволять $A$ быть конечным подмножеством $\mathbb {Z} ^{n}.$ Рассмотрим подпространство $L_{A}$ алгебры полиномов Лорана $\mathbb {C} \left[x_{1}^{\pm 1},\ldots ,x_{n}^{\pm 1}\right]$ состоящая из полиномов Лорана, показатели степени которых находятся в $A$. То есть:

$L_{A}=\left\{f\,\left|\,f(x)=\sum _{\alpha \in A}c_{\alpha }x^{\alpha },c_{\alpha }\in \mathbb {C} \right\},\right.$

где для каждого $\alpha =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in \mathbb {Z} ^{n}$ мы использовали сокращенное обозначение $x^{\alpha }$ для обозначения монома $x_{1}^{a_{1}}\cdots x_{n}^{a_{n}}.$

Теперь возьми $n$ конечные подмножества $A_{1},\ldots ,A_{n}$ из $\mathbb {Z} ^{n}$, с соответствующими подпространствами полиномов Лорана, $L_{A_{1}},\ldots ,L_{A_{n}}.$ Рассмотрим общую систему уравнений из этих подпространств, а именно:

$f_{1}(x)=\cdots =f_{n}(x)=0,$

где каждый $f_{i}$ является общим элементом в (конечномерном векторном пространстве) $L_{A_{i}}.$

Теорема Бернштейна – Кушниренко утверждает, что число решений $x\in (\mathbb {C} \setminus 0)^{n}$ такой системы равна

$n!V(\Delta _{1},\ldots ,\Delta _{n}),$

где $V$ обозначает Минковского смешанный объем и для каждого $i,\Delta _{i}$ является выпуклой оболочкой конечного множества точек $A_{i}$. Четко, $\Delta _{i}$ – выпуклый решетчатый многогранник ; его можно интерпретировать как многогранник Ньютона типичного элемента подпространства $L_{A_{i}}$.

В частности, если все множества $A_{i}$ одинаковы, $A=A_{1}=\cdots =A_{n},$ то число решений типичной системы многочленов Лорана из $L_{A}$ равно

$n!\operatorname {vol} (\Delta ),$

где $\Delta$ представляет собой выпуклую оболочку $A$ и vol обычный $n$-мерный евклидов объем. Обратите внимание: хотя объем решетчатого многогранника не обязательно является целым числом, он становится целым числом после умножения на $n!$.

Пустяки

Имя Кушниренко также пишется Кушниренко. Дэвид Бернштейн является братом Джозефа Бернстайна . Аскольд Хованский нашел около 15 различных доказательств этой теоремы.

См. также

• Теорема Безу для еще одной верхней оценки числа общих нулей n многочленов от n неопределенных чисел.