Условия Фрица Джона

Условия Фрица Джона (сокр. условия FJ ) в математике являются необходимым условием решения в нелинейном оптимальности программировании . Они используются в качестве леммы при доказательстве условий Каруша–Куна–Таккера , но актуальны и сами по себе.

Рассмотрим следующую задачу оптимизации :

${\begin{aligned}{\text{minimize }}&f(x)\,\\{\text{subject to: }}&g_{i}(x)\leq 0,\ i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\\&h_{j}(x)=0,\ j\in \left\{m+1,\dots ,n\right\}\end{aligned}}$

где ƒ — функция, которую необходимо минимизировать, $g_{i}$ неравенства ограничения и $h_{j}$ ограничения равенства, и где, соответственно, ${\mathcal {I}}$, ${\mathcal {A}}$ и ${\mathcal {E}}$ являются индексов наборами неактивных, активных ограничений и ограничений равенства и $x^{*}$ является оптимальным решением $f$, то существует ненулевой вектор $\lambda =[\lambda _{0},\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n}]$ такой, что:

${\begin{cases}\lambda _{0}\nabla f(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {A}}}\lambda _{i}\nabla g_{i}(x^{*})+\sum \limits _{i\in {\mathcal {E}}}\lambda _{i}\nabla h_{i}(x^{*})=0\\[10pt]\lambda _{i}\geq 0,\ i\in {\mathcal {A}}\cup \{0\}\\[10pt]\exists i\in \left(\{0,1,\ldots ,n\}\backslash {\mathcal {I}}\right)\left(\lambda _{i}\neq 0\right)\end{cases}}$

$\lambda _{0}>0$ если ​ $\nabla g_{i}(i\in {\mathcal {A}})$ и $\nabla h_{i}(i\in {\mathcal {E}})$ являются линейно независимыми или, в более общем смысле, когда выполняется условие ограничения .

Названные в честь Фрица Джона , эти условия эквивалентны условиям Каруша – Куна – Такера в случае $\lambda _{0}>0$. Когда $\lambda _{0}=0$, условие эквивалентно нарушению ограничения ограничения Мангасаряна–Фромовица (MFCQ). Другими словами, условие Фрица Джона эквивалентно условию оптимальности KKT или не-MFCQ.

Дальнейшее чтение

• Рау, Николас (1981). «Множители Лагранжа». Матрицы и математическое программирование . Лондон: Макмиллан. стр. 156–174. ISBN  0-333-27768-6 .