Преобразование Ельмслева

В математике преобразование Ельмслева — эффективный метод отображения всей гиперболической плоскости в окружность конечного радиуса . Преобразование было изобретено датским математиком Йоханнесом Ельмслевым . В нем используется Николая Ивановича Лобачевского. 23-я теорема ^[1] из его работы «Геометрические исследования по теории параллелей» .

Лобачевский, используя комбинацию своих 16-й и 23-й теорем, отмечает, что фундаментальной характеристикой гиперболической геометрии является необходимость существования определенного угла параллельности для любой заданной длины линии. ^[2] Допустим, для длины AE ее угол параллельности равен углу BAF. В этом случае линии AH и EJ будут гиперпараллельны и, следовательно, никогда не встретятся. Следовательно, любая линия, проведенная перпендикулярно основанию AE между A и E, обязательно должна пересекать линию AH на некотором конечном расстоянии. Йоханнес Ельмслев открыл благодаря этому метод сжатия всей гиперболической плоскости в конечный круг.

Строительство

Формализация

Преобразование Ельмслева — это функция, обозначаемая как $H(P)$ который действует на все точки $P_{n}$ в гиперболическом (Лобачевском) пространстве. Учитывая угол $\alpha$ такой, что $0<\alpha <{\frac {\pi }{2}}$ , и происхождение $O$ , это отображение дает изображения $P'_{n}$ где сохраняются следующие свойства:

Изображение круга с центром в $O$ представляет собой круг с центром в $O$ .
Изображение прямолинейного угла – это прямолинейный угол.
Любой угол с вершиной $O$ отображается сам на себя, т.е. любой угол с вершиной $O$ сохраняется.
Изображение прямого угла, одна сторона которого проходит через $O$ это прямой угол, одна сторона которого проходит через $O$ .
Образом любой прямой будет конечный отрезок прямой.
Наконец, порядок точек сохраняется на протяжении всего преобразования, т. е. если B находится между A и C, изображение B будет между изображением A и изображением C.

Эта функция полезна при исследовании гиперболического (Лобачевского) пространства, поскольку она создает характерные фигуры из параллельных линий. Дан набор из двух параллельных прямых ${\overline {AB}}$ , ${\overline {CD}}$ такой, что ${\overline {AB}}\parallel {\overline {CD}}$ , полученные изображения ${\overline {A'B'}}$ , ${\overline {C'D'}}$ получится треугольник $\triangle A'B'IC'D'$ с воображаемой вершиной $I$ в их направлении параллелизма.

Трансформация одной точки $P$ в изображение $P'$

Данный $\alpha$ , $O$ , $P$ , чтобы найти $P'$ (изображение) $P$ . Сначала нарисуйте отрезок линии ${\overline {OP}}$ , соединяя точку $P$ к происхождению $O$ . Далее построим вспомогательную линию ${\overline {OQ}}$ такой, что $\angle POQ=\alpha$ . Точка $Q$ необходимо только определить строку ${\overline {OQ}}$ .

Теперь построим перпендикуляр ${\overline {PP''}}$ проходя через точку $P$ , перпендикулярно ${\overline {OQ}}$ . Это сформирует прямой угол $\angle OP''P$ в точку $P''$ :

Использование сегмента линии ${\overline {OP''}}$ в качестве радиуса постройте круг с центром $O$ так, что окружность указанного круга пересекается ${\overline {OP}}$ в какой-то момент $\color {red}P'$ . Таким образом, мы получаем точку $\color {red}P'$ онлайн-отрезок $OP$ , что представляет собой преобразование Ельмслева $H(P)$ данной точки $P$ . $H(P)=\color {red}P'$ :

Диск Ельмслева

Позволять ${\overline {P_{1}P_{2}}}$ быть параллельным ${\overline {P_{3}P_{4}}}$ , где $\angle P_{3}P_{1}P_{2}$ - угол параллельности. Выполняя преобразование для каждой точки на двух параллельных прямых, мы получаем круг Ельмслева:

Окружность созданного круга не имеет соответствующего местоположения внутри плоскости, и поэтому продукт преобразования Ельмслева более уместно называть диском Ельмслева . Аналогично, когда это преобразование распространяется на все три измерения, оно называется шаром Ельмслева .

Завершенный диск Ельмслева, представляющий две пересекающиеся линии.

Завершенный диск Ельмслева, представляющий две гиперпараллельные линии.

Завершенный диск Ельмслева, представляющий две ультрапараллельные линии.

Преобразование Ельмслева и модель Клейна

Если мы представляем гиперболическое пространство с помощью модели Клейна и принимаем центр преобразования Ельмслева в качестве центральной точки модели Клейна, то преобразование Ельмслева отображает точки единичного круга в точки диска с центром в начале координат с радиус меньше единицы. Учитывая действительное число k, преобразование Ельмслева, если мы игнорируем вращения, по сути, является тем, что мы получаем, отображая вектор u, представляющий точку в модели Клейна, вку, при этом 0<k<1. Следовательно, с точки зрения модели, это равномерное масштабирование , которое переводит строки в строки и так далее. Для существ, живущих в гиперболическом пространстве, это может быть подходящим способом создания карты.

См. также

Теорема Ельмслева

Ссылки

^ «Для каждого заданного угла a существует прямая p такая, что Π(p) = a»
^ Лобачевский, Николай (1914). Геометрические исследования по теории параллелей (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Издательство Open Court. С. 13–14 (теорема 16), 19–21 (теорема 23).

[1] «Для каждого заданного угла a существует прямая p такая, что Π(p) = a»

[2] Лобачевский, Николай (1914). Геометрические исследования по теории параллелей (PDF) . Чикаго, Иллинойс: Издательство Open Court. С. 13–14 (теорема 16), 19–21 (теорема 23).

[1]

[2]