Стохастический коэффициент дисконтирования

Понятие стохастического коэффициента дисконтирования (SDF) используется в финансовой экономике и математических финансах . Название происходит от цены актива, которую можно вычислить путем «дисконтирования» будущего денежного потока. ${\tilde {x}}_{i}$ по стохастическому фактору ${\tilde {m}}$ , а затем принимая ожидание. ^[1] Это определение имеет фундаментальное значение в ценообразовании активов .

Если имеется n активов с начальными ценами $p_{1},\ldots ,p_{n}$ в начале периода и выплаты ${\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}$ в конце периода (все x s — случайные (стохастические) величины ), то SDF — любая случайная величина ${\tilde {m}}$ удовлетворяющий

E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},{\text{for }}i=1,\ldots ,n.

Стохастический коэффициент дисконтирования иногда называют ядром ценообразования , поскольку, если ожидание $E({\tilde {m}}\,{\tilde {x}}_{i})$ записывается в виде интеграла, тогда ${\tilde {m}}$ можно интерпретировать как функцию ядра в интегральном преобразовании . ^[2] Другими названиями, иногда используемыми для SDF, являются « предельная норма замещения » (отношение полезностей состояний , когда полезность отделима и аддитивна, хотя и дисконтирована нейтральной к риску ставкой), «изменение меры», « состояние». «дефлятор цен » или « плотность государственных цен ». ^[2]

Характеристики

Существование ФСР эквивалентно закону одной цены ; ^[1] аналогично существование строго положительного SDF эквивалентно отсутствию арбитражных возможностей (см. Фундаментальную теорему ценообразования активов ). В таком случае, если $p_{i}$ является положительным, используя ${\tilde {R}}_{i}={\tilde {x}}_{i}/p_{i}$ чтобы обозначить возврат, мы можем переписать определение как

E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i,

и это подразумевает

E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j.

Кроме того, если имеется портфель, состоящий из активов, то SDF удовлетворяет

E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1.

Используя простое стандартное тождество о ковариациях , мы имеем

1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}}).

Предположим, существует безрисковый актив. Затем ${\tilde {R}}=R_{f}$ подразумевает $E({\tilde {m}})=1/R_{f}$ . Подстановка этого значения в последнее выражение и перестановка дают следующую формулу для премии за риск любого актива или портфеля с доходностью: ${\tilde {R}}$ :

E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}}).

Это показывает, что премии за риск определяются ковариациями с любым SDF. ^[1]

См. также

Дорога Хансен – Джаганнатан

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с Керри Э. Бэк (2010). Теория ценообразования активов и выбора портфеля . Издательство Оксфордского университета.
^ Jump up to: ^а ^б Кокрейн, Джон Х. (2001). Оценка активов . Издательство Принстонского университета. п. 9.

[Kerry-1] Jump up to: ^а ^б ^с Керри Э. Бэк (2010). Теория ценообразования активов и выбора портфеля . Издательство Оксфордского университета.

[Cochrane-2] Jump up to: ^а ^б Кокрейн, Джон Х. (2001). Оценка активов . Издательство Принстонского университета. п. 9.

[1]

[2]